• Uma pequena conta C pode deslizar sem atrito ao longo de um aro circular, com raio igual a R, situado em um plano vertical. O aro gira com uma taxa constante de n revoluções por segundo (rev/s) em torno de um diâmetro vertical (Fig. 14). (a) Ache o ângulo beta para o qual a conta está em equilíbrio vertical (é claro que ela possui uma aceleração radial orientada para o eixo de rotação). (b) Qual o número mínimo de rev/s com que o aro deve girar para que a conta não fique na parte baixa do aro ? © É possível a conta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre uma pequena conta que desliza sem atrito em um aro circular vertical com raio . O aro está girando a uma taxa constante de revoluções por segundo. Queremos descobrir:
(a) O ângulo onde a conta está em equilíbrio vertical.
(b) A quantidade mínima de rotações por segundo que o aro deve ter para que a conta não fique na parte baixa do aro.
Vamos usar conceitos de forças em equilíbrio e aceleração centrípeta para resolver isso. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Encontrar o ângulo ac = omega^2 R de equilíbrio
Primeiro, vamos entender o que significa a conta estar em equilíbrio vertical. Isso quer dizer que as forças que atuam na conta estão balanceadas de tal forma que ela não sobe nem desce no aro.
As forças que atuam na conta são:
  1. Força da gravidade ( omega = 2pi n ): Puxa a conta para baixo.
  2. Força normal ( N = mg cos beta + m ac ): A força que o aro exerce na conta, perpendicular à superfície do aro.
Como o aro está girando, há uma aceleração centrípeta ( N = mg cos beta + m (2pi n)^2 R ) que mantém a conta no caminho circular. Essa aceleração é dada por:
mg sin beta = m (2pi n)^2 R sin beta
onde é a velocidade angular em radianos por segundo. Sabemos que:
Agora, vamos decompor as forças no sistema de coordenadas radial e tangencial. No equilíbrio vertical, a componente das forças na direção tangencial deve se cancelar.
Aplicando o equilíbrio das forças na direção radial:
Como não há movimento na direção radial, a soma das forças deve ser zero.
Substituindo :
Para a conta estar em equilíbrio vertical, a componente tangencial da força da gravidade deve equilibrar a força normal:
Simplificando, obtemos o ângulo para o equilíbrio.

Passo 3

Parte (b): Encontrar o número mínimo de revoluções por segundo mg sin beta = m (2pi n)^2 R sin beta
Queremos que a conta não fique na parte baixa do aro. Isso significa que o ângulo mg = m (2pi n)^2 R deve ser tal que a componente da força da gravidade na direção tangencial seja menor ou igual à força centrípeta.
Usando a relação da parte (a), queremos o valor mínimo de g = (2pi n)^2 R onde:
n = raizg4pi^2 R
Para o mínimo de nmin = 12pi raizgR , consideramos (ou seja, a conta está na posição mais baixa). Nesse caso:
Cancelando e isolando :
Então, o número mínimo de revoluções por segundo é dado por:

Resposta

(a) O ângulo beta = arccos((2pi n)^2 Rg) para o equilíbrio vertical é tal que:
nmin = 12pi raizgR
(b) O número mínimo de revoluções por segundo é:

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