• Uma pequena conta pode deslizar sem atrito ao longo de um aro circular, com raio igual a , situado em um plano vertical. O aro gira com uma taxa constante de revoluções por segundo (rev/s) em torno de um diâmetro vertical (Fig. 14). (a) Ache o ângulo para o qual a conta está em equilíbrio vertical (é claro que ela possui uma aceleração radial orientada para o eixo de rotação). (b) Qual o número mínimo de rev/s com que o aro deve girar para que a conta não fique na parte baixa do aro ? © É possível a conta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre uma pequena conta que desliza sem atrito em um aro circular vertical com raio . O aro está girando a uma taxa constante de revoluções por segundo. Queremos descobrir:
(a) O ângulo onde a conta está em equilíbrio vertical.
(b) A quantidade mínima de rotações por segundo que o aro deve ter para que a conta não fique na parte baixa do aro.
Vamos usar conceitos de forças em equilíbrio e aceleração centrípeta para resolver isso. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Encontrar o ângulo de equilíbrio
Primeiro, vamos entender o que significa a conta estar em equilíbrio vertical. Isso quer dizer que as forças que atuam na conta estão balanceadas de tal forma que ela não sobe nem desce no aro.
As forças que atuam na conta são:
  1. Força da gravidade ( ): Puxa a conta para baixo.
  2. Força normal ( ): A força que o aro exerce na conta, perpendicular à superfície do aro.
Como o aro está girando, há uma aceleração centrípeta ( ) que mantém a conta no caminho circular. Essa aceleração é dada por:
onde é a velocidade angular em radianos por segundo. Sabemos que:
Agora, vamos decompor as forças no sistema de coordenadas radial e tangencial. No equilíbrio vertical, a componente das forças na direção tangencial deve se cancelar.
Aplicando o equilíbrio das forças na direção radial:
Como não há movimento na direção radial, a soma das forças deve ser zero.
Substituindo :
Para a conta estar em equilíbrio vertical, a componente tangencial da força da gravidade deve equilibrar a força normal:
Simplificando, obtemos o ângulo para o equilíbrio.

Passo 3

Parte (b): Encontrar o número mínimo de revoluções por segundo
Queremos que a conta não fique na parte baixa do aro. Isso significa que o ângulo deve ser tal que a componente da força da gravidade na direção tangencial seja menor ou igual à força centrípeta.
Usando a relação da parte (a), queremos o valor mínimo de onde:
Para o mínimo de , consideramos (ou seja, a conta está na posição mais baixa). Nesse caso:
Cancelando e isolando :
Então, o número mínimo de revoluções por segundo é dado por:

Resposta

(a) O ângulo para o equilíbrio vertical é tal que:
(b) O número mínimo de revoluções por segundo é:

Exercícios relacionados

(Unisinos-RS) Numa pista atlética retangular de lados e , um atleta corre com velocidade de módulo constante , no sentido horário, conforme mostrado na figura. Em , o atleta encontra-se no ponto A. O módulo do deslocamento do atleta, após 60 s de corrida, em metros, é:
a) 100
b) 220
c) 300
d) 10000
e) 18000
(MACK-SP) O Sr. José sai de sua casa caminhando com velocidade escalar constante de , dirigindo-se para o supermercado que está a . Seu filho Fernão, 5 minutos após, corre ao encontro do pai, levando a carteira que ele havia esquecido. Sabendo que o rapaz encontra o pai no instante em que este chega ao supermercado, podemos afirmar que a velocidade escalar média de Fernão foi igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
(UEPI) Em sua trajetória, um ônibus interestadual percorreu 60 km em 80 min , após 10 min de parada, seguiu viagem por mais 90 km à velocidade média de e, por fim, após 13 min de parada, percorreu mais 42 km em 30 min . A afirmativa verdadeira sobre o movimento do ônibus, do início ao final da viagem, é que ele:
a) percorreu uma distância total de 160 km
b) gastou um tempo total igual ao triplo do tempo gasto no primeiro trecho de viagem
c) desenvolveu uma velocidade média de
d) não modificou sua velocidade média em consequência das paradas
e) teria desenvolvido uma velocidade média de , se não tivesse feito paradas
Quando um peso grande é suspenso por um fio no limite de sua elasticidade, puxando-se o fio suavemente pode-se levantar o peso; porém, se você puxar bruscamente, o fio se rompe. Explique isso usando as leis de Newton do movimento.