Uma pequena esfera carregada positivamente tem massa de
e cai do repouso no vácuo de uma altura de
em um campo elétrico vertical uniforme com magnitude de
. A esfera atinge o solo a uma velocidade de
. Determine a carga da esfera. Use a aceleração da gravidade como
e Dê a resposta em C.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma esfera pequena, carregada positivamente, que está caindo do repouso de uma altura de 5,54 metros num vácuo. Além da gravidade, ela está passando por um campo elétrico uniforme com uma certa magnitude. No final, a esfera atinge o chão com uma velocidade de 14,50 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga dessa esfera.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cinemática (para entender o movimento da esfera) e de Eletrostática (para entender como o campo elétrico está influenciando a esfera). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento da esfera só com a gravidade, sem considerar o campo elétrico. Se a esfera cai do repouso, podemos usar a equação da cinemática para a velocidade final:
Onde:
-
é a velocidade final, -
é a aceleração da gravidade (9,8 m/s²), -
é a altura (5,54 m).
Vamos calcular isso para ver qual seria a velocidade sem o campo elétrico.
Passo 3
Calculando a velocidade final sem o campo elétrico:
Então, sem o campo elétrico, a esfera atingiria o chão com aproximadamente 10,40 m/s.
Passo 4
Mas no nosso caso, a velocidade final foi de 14,50 m/s, que é maior do que 10,40 m/s. Isso significa que além da gravidade, há uma força extra ajudando a esfera a acelerar mais. Essa força extra vem do campo elétrico.
Sabemos que o campo elétrico exerce uma força sobre cargas:
, onde:
-
é a força elétrica, -
é a carga da esfera, -
é a magnitude do campo elétrico.
Vamos descobrir como essa força extra afeta a aceleração da esfera.
Passo 5
A força total que age na esfera é a combinação da força gravitacional e da força elétrica. Como a velocidade final é maior, a força elétrica está na mesma direção que a força da gravidade, aumentando a aceleração total.
A força gravitacional é:
E a força elétrica é:
Então, a força total é:
Passo 6
Usando a segunda lei de Newton,
, onde
é a aceleração total, temos:
Nossa meta é encontrar
, então vamos isolar
:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a aceleração
da esfera. Sabemos a velocidade final
, a altura
e que a esfera parte do repouso. Podemos usar a equação da cinemática:
Isolando
:
Vamos calcular isso com os valores dados:
Passo 8
Agora que temos
, podemos substituir de volta na equação para
:
Substituindo os valores:
Passo 9
Calculando
:
Agora, substituindo:
Resposta
A carga da esfera é aproximadamente
.
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