Um fio uniformemente carregada de comprimento I=0,20 m tem a forma de um semicírculo. O fio tem uma carga total de q=-7,11 e-06 C. Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em
O, o centro do semicírculo. Use k=8.99 times 109 N m 2 / C2 k=8.99 times 109 N m 2 / C 2 e pi=3,14 pi=3,14. Dê a resposta em N/C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem um fio com formato de semicírculo, comprimento de 0,20 m e carga total de . Queremos achar o campo elétrico no centro do semicírculo, o ponto O. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico criado por uma distribuição de carga contínua e aplicar a Lei de Coulomb de forma integrada para distribuir a carga ao longo do semicírculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o semicírculo e identificar o ponto onde queremos calcular o campo elétrico, que é o centro O. Como o fio é uniformemente carregado, a densidade linear de carga lambda = qL é constante e dada por:
Onde é o comprimento do fio. Aqui, .

Passo 3

Vamos calcular a densidade linear de carga lambda = -7,11 times 10^-6 , C0,20 , m = -3,555 times 10^-5 , C/m :

Passo 4

Agora, consideramos um pequeno elemento de comprimento dE = k , dqr^2 , r no semicírculo. A carga desse elemento é . O campo elétrico devido a esse elemento no ponto O será:
Onde é a distância do elemento até o ponto O. No caso do semicírculo, é o raio do semicírculo.

Passo 5

Para um semicírculo, o comprimento R = Lpi = 0,20 , m3,14 approx 0,0637 , m . Então, podemos encontrar :

Passo 6

O campo elétrico tem componentes em x e y, mas devido à simetria do semicírculo, as componentes horizontais (digamos, x) vão se cancelar, e só a componente vertical (y) vai somar. Então, vamos calcular apenas a componente dEy = dE sintheta :
Aqui, é o ângulo correspondente ao elemento . No centro do círculo, , então .

Passo 7

Integrando ao longo do semicírculo, temos:
E = integral dEy = integral k , lambda , dlR^2
Como E = k , lambdaR^2 integral dl = k , lambdaR^2 cdot L , , e são constantes, a integral fica:

Passo 8

Substituindo as expressões que já encontramos:
E = 8,99 times 10^9 , N cdot m^2/C^2 times (-3,555 times 10^-5 , C/m)(0,0637 , m)^2 times 0,20 , m

Passo 9

Calculando o denominador R^2 = (0,0637 , m)^2 approx 0,00406 , m^2 e simplificando:
E = 8,99 times 10^9 times (-3,555 times 10^-5) times 0,200,00406

Passo 10

Realizando as multiplicações:
E = 8,99 times 10^9 times (-7,11 times 10^-6)0,00406 approx -6,38 times 10^40,00406 approx -1,57 times 10^7 , N/C

Resposta

A magnitude do campo elétrico no ponto O é aproximadamente . A direção do campo é radialmente para dentro do semicírculo (no sentido do centro O) devido à carga negativa do fio.

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