Um fio uniformemente carregada de comprimento
tem a forma de um semicírculo. O fio tem uma carga total de
. Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em
, o centro do semicírculo. Use
. Dê a resposta em N/C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem um fio com formato de semicírculo, comprimento de 0,20 m e carga total de
. Queremos achar o campo elétrico no centro do semicírculo, o ponto O. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico criado por uma distribuição de carga contínua e aplicar a Lei de Coulomb de forma integrada para distribuir a carga ao longo do semicírculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o semicírculo e identificar o ponto onde queremos calcular o campo elétrico, que é o centro O. Como o fio é uniformemente carregado, a densidade linear de carga
é constante e dada por:
Onde
é o comprimento do fio. Aqui,
.
Passo 3
Vamos calcular a densidade linear de carga
:
Passo 4
Agora, consideramos um pequeno elemento de comprimento
no semicírculo. A carga desse elemento é
. O campo elétrico
devido a esse elemento no ponto O será:
Onde
é a distância do elemento até o ponto O. No caso do semicírculo,
é o raio
do semicírculo.
Passo 5
Para um semicírculo, o comprimento
. Então, podemos encontrar
:
Passo 6
O campo elétrico tem componentes em x e y, mas devido à simetria do semicírculo, as componentes horizontais (digamos, x) vão se cancelar, e só a componente vertical (y) vai somar. Então, vamos calcular apenas a componente
:
Aqui,
é o ângulo correspondente ao elemento
. No centro do círculo,
, então
.
Passo 7
Integrando ao longo do semicírculo, temos:
Como
,
, e
são constantes, a integral fica:
Passo 8
Substituindo as expressões que já encontramos:
Passo 9
Calculando o denominador
e simplificando:
Passo 10
Realizando as multiplicações:
Resposta
A magnitude do campo elétrico no ponto O é aproximadamente
. A direção do campo é radialmente para dentro do semicírculo (no sentido do centro O) devido à carga negativa do fio.