Uma pequena esfera de isopor, de massa
e com carga
, está em equilibrio entre as armaduras de um capacitor de placas paralelas, sujeito às açoes exclusivas do campo elétrico e do campo gravitacional local.
Carga elementar
Considerando
, calcule a capacitância por metro quadrado desse capacitor (
) e a distanncia
Carga elementar
Considerando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma esfera de isopor com massa de 0,512 gramas e carga de
C que está equilibrada entre as placas de um capacitor de placas paralelas. O objetivo é calcular a capacitância por metro quadrado desse capacitor (
) e a distância entre as placas. Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática e forças gravitacionais.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
- Massa (
): - Carga (
): - Aceleração da gravidade (
):
Passo 3
Como a esfera está em equilíbrio, as forças que atuam sobre ela estão balanceadas. Temos duas forças:
-
Força Gravitacional (
): Puxa a esfera para baixo e é calculada por: -
Força Elétrica (
): Puxa a esfera para cima devido ao campo elétrico e é dada por:
Como estão em equilíbrio:
Passo 4
Agora, vamos isolar o campo elétrico (
) na equação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando o valor de
:
Passo 6
Sabemos que a intensidade do campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas paralelas é dada por:
Onde:
-
é a densidade de carga superficial ( ) -
é a permissividade do vácuo ( )
Mas a capacitância por metro quadrado (
) de um capacitor de placas paralelas também está relacionada à distância entre as placas (
):
Podemos relacionar isso com o campo elétrico:
Mas também sabemos que:
Passo 7
Usando a relação
e sabendo que
:
Mas precisamos expressar isso em termos de capacitância por área e sem depender de
. Vamos usar a relação direta entre capacitância por área e campo elétrico.
Reorganizando a equação:
E lembrando que:
Substituindo
na equação de
:
E sabemos que
, igualando as duas expressões para
:
Passo 8
Queremos encontrar
, então vamos usar a relação:
Isolando
:
Substituindo na equação anterior:
Agora, substituindo
:
Passo 9
Calculando
:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Agora:
Passo 10
Agora, para encontrar a distância (
) entre as placas, usamos a relação:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Resposta
A capacitância por metro quadrado do capacitor é aproximadamente
e a distância entre as placas é cerca de
.