Uma pequena esfera de isopor, de massa 0,512 g e com carga q=-1,6 x 10^-7 C, está em equilibrio entre as armaduras de um capacitor de placas paralelas, sujeito às açoes exclusivas do campo elétrico e do campo gravitacional local.
Carga elementar =e=1,6 cdot 10^-19 C
Considerando g=10 m / s^2, calcule a capacitância por metro quadrado desse capacitor ( F / m^2 ) e a distanncia

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma esfera de isopor com massa de 0,512 gramas e carga de -1,6 times 10^-7 C que está equilibrada entre as placas de um capacitor de placas paralelas. O objetivo é calcular a capacitância por metro quadrado desse capacitor ( F/m²²) e a distância entre as placas. Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática e forças gravitacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Massa ( m): 0,512 , g = 0,512 times 10^-3 , kg
  • Carga ( q): -1,6 times 10^-7 , C
  • Aceleração da gravidade ( g): 10 , m/s²²

Passo 3

Como a esfera está em equilíbrio, as forças que atuam sobre ela estão balanceadas. Temos duas forças:
  1. Força Gravitacional ( Fg): Puxa a esfera para baixo e é calculada por:
    Fg = m times g
  2. Força Elétrica ( Fe): Puxa a esfera para cima devido ao campo elétrico e é dada por:
    Fe = q times E
Como estão em equilíbrio:
Fe = Fg
q times E = m times g

Passo 4

Agora, vamos isolar o campo elétrico ( E) na equação:
E = m times gq
Substituindo os valores:
E = 0,512 times 10^-3 , kg times 10 , m/s²1,6 times 10^-7 , C ²

Passo 5

Calculando o valor de E:
E = 0,512 times 10^-3 times 101,6 times 10^-7
E = 5,12 times 10^-31,6 times 10^-7
E = 3,2 times 10^4 , V/m

Passo 6

Sabemos que a intensidade do campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas paralelas é dada por:
E = sigmavarepsilon0
Onde:
  • sigma é a densidade de carga superficial ( C/m²²)
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 , F/m)
Mas a capacitância por metro quadrado ( C/A) de um capacitor de placas paralelas também está relacionada à distância entre as placas ( d):
C = varepsilon0 Ad
CA = varepsilon0d
Podemos relacionar isso com o campo elétrico:
E = Vd
V = E times d
Mas também sabemos que:
C = QV
CA = sigmaE

Passo 7

Usando a relação CA = sigmaE e sabendo que sigma = qA:
CA = q/AE
CA = qA times E
Mas precisamos expressar isso em termos de capacitância por área e sem depender de A. Vamos usar a relação direta entre capacitância por área e campo elétrico.
Reorganizando a equação:
CA = varepsilon0d
E lembrando que:
E = Vd
V = qC
Substituindo V na equação de E:
E = qC times d
E sabemos que E = m times gq, igualando as duas expressões para E:
qC times d = m times gq
C times d = q^2m times g

Passo 8

Queremos encontrar CA, então vamos usar a relação:
CA = varepsilon0d
Isolando d:
d = varepsilon0C/A
Substituindo na equação anterior:
C times varepsilon0C/A = q^2m times g
A times varepsilon0 = q^2m times g
CA = varepsilon0d
Agora, substituindo d:
CA = varepsilon0varepsilon0C/A
CA = C/A1
C/A = raizq^2m times g times varepsilon0

Passo 9

Calculando CA:
CA = raizq^2m times g times varepsilon0
Substituindo os valores:
CA = raiz(1,6 times 10^-7)^2(0,512 times 10^-3) times 10 times 8,85 times 10^-12
Calculando o numerador:
(1,6 times 10^-7)^2 = 2,56 times 10^-14
Calculando o denominador:
(0,512 times 10^-3) times 10 times 8,85 times 10^-12 = 4,5312 times 10^-13
Agora:
CA = raiz2,56 times 10^-144,5312 times 10^-13
CA = raiz0,0565
CA approx 0,2376 , F/m² ²

Passo 10

Agora, para encontrar a distância ( d) entre as placas, usamos a relação:
CA = varepsilon0d
Isolando d:
d = varepsilon0C/A
Substituindo os valores:
d = 8,85 times 10^-12 , F/m0,2376 , F/m² ²
d approx 3,72 times 10^-11 , m

Resposta

A capacitância por metro quadrado do capacitor é aproximadamente 0,2376 , F/m²² e a distância entre as placas é cerca de 3,72 times 10^-11 , m.

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