Uma pequena esfera de isopor, de massa e com carga , está em equilibrio entre as armaduras de um capacitor de placas paralelas, sujeito às açoes exclusivas do campo elétrico e do campo gravitacional local.
Carga elementar
Considerando , calcule a capacitância por metro quadrado desse capacitor ( ) e a distanncia

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma esfera de isopor com massa de 0,512 gramas e carga de C que está equilibrada entre as placas de um capacitor de placas paralelas. O objetivo é calcular a capacitância por metro quadrado desse capacitor ( ²) e a distância entre as placas. Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática e forças gravitacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Massa ( ):
  • Carga ( ):
  • Aceleração da gravidade ( ): ²

Passo 3

Como a esfera está em equilíbrio, as forças que atuam sobre ela estão balanceadas. Temos duas forças:
  1. Força Gravitacional ( ): Puxa a esfera para baixo e é calculada por:
  2. Força Elétrica ( ): Puxa a esfera para cima devido ao campo elétrico e é dada por:
Como estão em equilíbrio:

Passo 4

Agora, vamos isolar o campo elétrico ( ) na equação:
Substituindo os valores:
²

Passo 5

Calculando o valor de :

Passo 6

Sabemos que a intensidade do campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas paralelas é dada por:
Onde:
  • é a densidade de carga superficial ( ²)
  • é a permissividade do vácuo ( )
Mas a capacitância por metro quadrado ( ) de um capacitor de placas paralelas também está relacionada à distância entre as placas ( ):
Podemos relacionar isso com o campo elétrico:
Mas também sabemos que:

Passo 7

Usando a relação e sabendo que :
Mas precisamos expressar isso em termos de capacitância por área e sem depender de . Vamos usar a relação direta entre capacitância por área e campo elétrico.
Reorganizando a equação:
E lembrando que:
Substituindo na equação de :
E sabemos que , igualando as duas expressões para :

Passo 8

Queremos encontrar , então vamos usar a relação:
Isolando :
Substituindo na equação anterior:
Agora, substituindo :

Passo 9

Calculando :
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Agora:
²

Passo 10

Agora, para encontrar a distância ( ) entre as placas, usamos a relação:
Isolando :
Substituindo os valores:
²

Resposta

A capacitância por metro quadrado do capacitor é aproximadamente ² e a distância entre as placas é cerca de .

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