Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno a e raio externo b, é concêntrica, com uma grande esfera oca condutora, raio interno c e raio externo d. A carga total sobre a esfera oca interna é igual a +2 q e a carga total sobre a esfera oca externa é igual a +4 q. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em função de q e da distância r do centro comum para as regiões (i) r; (ii) a; (iii) b; (iv) c; (v) r>d. Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial E(r) em função do raio r da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre esferas oca condutoras concêntricas com cargas dadas. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor de cargas distribuídas simetricamente. Vamos precisar entender como as cargas se distribuem em condutores e aplicar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico em cada região especificada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de cargas nas esferas condutoras. Em uma esfera oca condutora:
  1. As cargas livres se distribuem na superfície externa da esfera.
  2. Se houver outra carga próxima, uma parte das cargas pode se redistribuir para cancelar o campo elétrico no material do condutor.
Aqui temos duas esferas concêntricas:
  • A esfera interna tem raio interno , raio externo e carga total .
  • A esfera externa tem raio interno , raio externo e carga total .
Como (pois são concêntricas e a externa tem raio maior), vamos considerar as diferentes regiões para aplicar a Lei de Gauss.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • é o campo elétrico.
  • é um elemento de área da superfície gaussiana.
  • é a carga total encerrada pela superfície gaussiana.
  • é a permissividade do vácuo.
Como as esferas são simétricas, escolhemos superfícies gaussianas esféricas de raio , pois o campo elétrico será radial e de mesmo módulo em toda a superfície.

Passo 4

Vamos analisar cada região:

(i) oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = 0varepsilon0 Rightarrow E = 0

Aqui, estamos dentro da esfera interna oca. A carga total dentro da superfície gaussiana é zero, já que as cargas estão nas superfícies das esferas condutoras.
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico:

(ii)

Nesta região, ainda dentro da esfera interna oca. As cargas estão na superfície externa da esfera interna. Como não há carga dentro da superfície gaussiana, o campo elétrico permanece zero.
Campo elétrico:

Passo 5

(iii) E cdot 4pi r^2 = 2qvarepsilon0 Rightarrow E = 2q4pi varepsilon0 r^2 = q2pi varepsilon0 r^2

Agora, estamos entre as duas esferas. A carga total encerrada pela superfície gaussiana é a carga da esfera interna, .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico:

Passo 6

(iv) E cdot 4pi r^2 = 6qvarepsilon0 Rightarrow E = 6q4pi varepsilon0 r^2 = 3q2pi varepsilon0 r^2

Nesta região, estamos dentro da esfera externa. A carga total encerrada é a soma das cargas das duas esferas: .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico:

Passo 7

(v) E cdot 4pi r^2 = 6qvarepsilon0 Rightarrow E = 6q4pi varepsilon0 r^2 = 3q2pi varepsilon0 r^2

Aqui, estamos fora de ambas as esferas. A carga total encerrada ainda é (não muda ao aumentar ).
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico:

Resposta

Resumindo, o campo elétrico E(r) = 0, & para r < a 0, & para a < r < b q2pi varepsilon0 r^2 r, & para b < r < c 3q2pi varepsilon0 r^2 r, & para c < r < d 3q2pi varepsilon0 r^2 r, & para r > d nas diferentes regiões é:
O gráfico do componente radial em função do raio mostrará regiões onde o campo é zero e regiões onde ele varia com .

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