Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno e raio externo , é concêntrica, com uma grande esfera oca condutora, raio interno e raio externo . A carga total sobre a esfera oca interna é igual a e a carga total sobre a esfera oca externa é igual a . Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em função de q e da distância r do centro comum para as regiões (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v) . Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial em função do raio da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre esferas oca condutoras concêntricas com cargas dadas. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor de cargas distribuídas simetricamente. Vamos precisar entender como as cargas se distribuem em condutores e aplicar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico em cada região especificada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de cargas nas esferas condutoras. Em uma esfera oca condutora:
As cargas livres se distribuem na superfície externa da esfera.
Se houver outra carga próxima, uma parte das cargas pode se redistribuir para cancelar o campo elétrico no material do condutor.
Aqui temos duas esferas concêntricas:
A esfera interna tem raio interno , raio externo e carga total .
A esfera externa tem raio interno , raio externo e carga total .
Como (pois são concêntricas e a externa tem raio maior), vamos considerar as diferentes regiões para aplicar a Lei de Gauss.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz:
Onde:
é o campo elétrico.
é um elemento de área da superfície gaussiana.
é a carga total encerrada pela superfície gaussiana.
é a permissividade do vácuo.
Como as esferas são simétricas, escolhemos superfícies gaussianas esféricas de raio , pois o campo elétrico será radial e de mesmo módulo em toda a superfície.
Passo 4
Vamos analisar cada região:
(i)
Aqui, estamos dentro da esfera interna oca. A carga total dentro da superfície gaussiana é zero, já que as cargas estão nas superfícies das esferas condutoras.
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico:
(ii)
Nesta região, ainda dentro da esfera interna oca. As cargas estão na superfície externa da esfera interna. Como não há carga dentro da superfície gaussiana, o campo elétrico permanece zero.
Campo elétrico:
Passo 5
(iii)
Agora, estamos entre as duas esferas. A carga total encerrada pela superfície gaussiana é a carga da esfera interna, .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico:
Passo 6
(iv)
Nesta região, estamos dentro da esfera externa. A carga total encerrada é a soma das cargas das duas esferas: .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico:
Passo 7
(v)
Aqui, estamos fora de ambas as esferas. A carga total encerrada ainda é (não muda ao aumentar ).
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico:
Resposta
Resumindo, o campo elétrico nas diferentes regiões é:
O gráfico do componente radial em função do raio mostrará regiões onde o campo é zero e regiões onde ele varia com .