Uma carga elétrica Q está distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo de comprimento 2 a situado sobre o eixo y entre os pontos y=-a e y=+a. Calcule o potencial em um ponto P ao longo do eixo x situado a uma distância x da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga elétrica distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo de comprimento , que está alinhado no eixo entre os pontos e . A gente precisa calcular o potencial elétrico em um ponto que está no eixo , a uma distância da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga e integrais para somar o contributo de cada pedacinho do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um fio que vai de até no eixo . O ponto está no eixo , a uma distância da origem (onde os eixos se cruzam). Vamos considerar um elemento infinitesimal de comprimento do fio, que chamaremos de , localizado em uma posição qualquer ao longo do fio.

Passo 3

Como a carga lambda = Q2a está distribuída uniformemente no fio de comprimento dq = lambda , dy = Q2a , dy , a densidade linear de carga é dada por:
Isso significa que a carga em um pequeno elemento de comprimento é:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a distância entre o elemento de carga r = raizx^2 + y^2 no fio e o ponto . Como está no eixo a uma distância da origem e o elemento de carga está a uma posição no eixo , a distância entre eles, usando o teorema de Pitágoras, é:

Passo 5

O potencial elétrico diferencial dV = k , dqr devido a uma carga dV = k cdot Q2a , dyraizx^2 + y^2 a uma distância é dado pela fórmula:
onde é a constante eletrostática ( ).
Substituindo e :

Passo 6

Para encontrar o potencial total V = integral-a^+a k cdot Q2araizx^2 + y^2 , dy = kQ2a integral-a^+a dyraizx^2 + y^2 no ponto , precisamos integrar ao longo de todo o comprimento do fio, ou seja, de até :

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral dyraizx^2 + y^2 = ln(y + raizx^2 + y^2) + C
Aplicando os limites de integração de integral-a^+a dyraizx^2 + y^2 = ln(a + raizx^2 + a^2) - ln(-a + raizx^2 + a^2) a ln(a + raizx^2 + a^2) - ln(-a + raizx^2 + a^2) = ln(a + raizx^2 + a^2-a + raizx^2 + a^2) :
ln(a + raizx^2 + a^2raizx^2 + a^2 - a)
Simplificando, percebemos que:
Mas, como , a expressão fica:
Podemos simplificar ainda mais usando identidades logarítmicas, mas para fins de clareza, deixaremos a expressão nesse ponto.

Resposta

Portanto, o potencial elétrico no ponto V = kQ2a ln(a + raizx^2 + a^2raizx^2 + a^2 - a) é:
V = kQ2a cdot 2 sinh^-1(ax) = kQa sinh^-1(ax)
Ou, simplificando a expressão logarítmica:
Onde é a função arco seno hiperbólico. Essa é a expressão do potencial elétrico no ponto a uma distância da origem ao longo do eixo .

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