Uma carga elétrica
está distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo de comprimento
situado sobre o eixo
entre os pontos
e
. Calcule o potencial em um ponto
ao longo do eixo
situado a uma distância
da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga elétrica
distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo de comprimento
, que está alinhado no eixo
entre os pontos
e
. A gente precisa calcular o potencial elétrico em um ponto
que está no eixo
, a uma distância
da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga e integrais para somar o contributo de cada pedacinho do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um fio que vai de
até
no eixo
. O ponto
está no eixo
, a uma distância
da origem (onde os eixos se cruzam). Vamos considerar um elemento infinitesimal de comprimento do fio, que chamaremos de
, localizado em uma posição
qualquer ao longo do fio.
Passo 3
Como a carga
está distribuída uniformemente no fio de comprimento
, a densidade linear de carga
é dada por:
Isso significa que a carga em um pequeno elemento de comprimento
é:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a distância entre o elemento de carga
no fio e o ponto
. Como
está no eixo
a uma distância
da origem e o elemento de carga está a uma posição
no eixo
, a distância
entre eles, usando o teorema de Pitágoras, é:
Passo 5
O potencial elétrico diferencial
devido a uma carga
a uma distância
é dado pela fórmula:
onde
é a constante eletrostática (
).
Substituindo
e
:
Passo 6
Para encontrar o potencial total
no ponto
, precisamos integrar
ao longo de todo o comprimento do fio, ou seja, de
até
:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Simplificando, percebemos que:
Mas, como
, a expressão fica:
Podemos simplificar ainda mais usando identidades logarítmicas, mas para fins de clareza, deixaremos a expressão nesse ponto.
Resposta
Portanto, o potencial elétrico no ponto
é:
Ou, simplificando a expressão logarítmica:
Onde
é a função arco seno hiperbólico. Essa é a expressão do potencial elétrico no ponto
a uma distância
da origem ao longo do eixo
.