Colocamos uma carga positiva q sobre uma esfera condutora maciça de raio R. Determine o campo elétrico em qualquer ponto dentro (r ou fora da esfera (r>R). Represente graficamente a dependência do campo E(r) em função dessa distancia r.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora maciça de raio sobre a qual foi colocada uma carga positiva . Precisamos determinar o campo elétrico em qualquer ponto, tanto dentro da esfera ( ) quanto fora dela ( ). Além disso, a questão pede para representar graficamente como o campo elétrico varia com a distância .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria.

Passo 2

Vamos começar analisando o campo elétrico fora da esfera ( oint E cdot dA = qencvarepsilon0 ). Como a esfera é condutora e possui carga E cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0 , podemos tratar toda a carga como se estivesse concentrada no centro da esfera devido à simetria esférica.
A Lei de Gauss nos diz que:
E = q4pi varepsilon0 r^2
Onde:
  • é o fluxo elétrico total.
  • é a carga encerrada pela superfície gaussiana.
  • é a constante de permissividade do vácuo.
Para uma esfera gaussiana de raio , a carga encerrada é . Devido à simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície e é radial.
Então, o fluxo elétrico fica:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos analisar o campo elétrico dentro da esfera ( oint E cdot dA = qencvarepsilon0 = 0 ). Como a esfera é condutora, a carga se distribui na superfície. Portanto, não há carga no interior da esfera condutora ( E cdot 4pi r^2 = 0 implies E = 0 ).
Aplicando novamente a Lei de Gauss para uma esfera gaussiana de raio :
Isso significa que:
Portanto, o campo elétrico dentro da esfera condutora é zero.

Passo 4

Agora que temos as expressões para E(r) = 0 tanto dentro quanto fora da esfera, podemos resumir:
  • Dentro da esfera ( E(r) = q4pi varepsilon0 r^2 r ):
  • Fora da esfera ( ):
Onde é o vetor unitário na direção radial.

Passo 5

Finalmente, vamos descrever como seria o gráfico da dependência de em função de :
  • Para , o campo elétrico permanece zero.
  • No ponto , ocorre uma descontinuidade abrupta, passando de zero para .
  • Para , o campo elétrico decai seguindo uma lei do inverso do quadrado ( ).
Imagine um gráfico onde no eixo horizontal temos e no vertical . A curva fica em zero até e, a partir daí, começa a decair rapidamente conforme .

Resposta

O campo elétrico E(r) = 0 & para r < R q4pi varepsilon0 r^2 r & para r > R é dado por:
Graficamente, é zero dentro da esfera ( ), apresenta um salto no ponto , e decai proporcionalmente a fora da esfera.

Exercícios relacionados

Uma carga elétrica Q está distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo de comprimento 2 a situado sobre o eixo y entre os pontos y=-a e y=+a. Calcule o potencial em um ponto P ao longo do eixo x situado a uma distância x da origem.
Um resistor tem a forma de um tronco de cone circular reto de raios a e b, altura l e resistividade rho. Mostre que a resistência elétrica deste sistema é R=rho /(pi a b).
Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno a e raio externo b, é concêntrica, com uma grande esfera oca condutora, raio interno c e raio externo d. A carga total sobre a esfera oca interna é igual a +2 q e a carga total sobre a esfera oca externa é igual a +4 q. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em função de q e da distância r do centro comum para as regiões (i) r; (ii) a; (iii) b; (iv) c; (v) r>d. Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial E(r) em função do raio r da esfera.
Use a lei de Gauss para calcular a capacitância do capacitor esférico, agora considerando que o volume entre as cascas esféricas concêntricas é preenchido por um óleo isolante com uma constante dielétrica K.