Colocamos uma carga positiva q sobre uma esfera condutora maciça de raio
. Determine o campo elétrico em qualquer ponto dentro
ou fora da esfera
. Represente graficamente a dependência do campo
em função dessa distancia
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora maciça de raio
sobre a qual foi colocada uma carga positiva
. Precisamos determinar o campo elétrico
em qualquer ponto, tanto dentro da esfera (
) quanto fora dela (
). Além disso, a questão pede para representar graficamente como o campo elétrico varia com a distância
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria.
Passo 2
Vamos começar analisando o campo elétrico fora da esfera (
). Como a esfera é condutora e possui carga
, podemos tratar toda a carga como se estivesse concentrada no centro da esfera devido à simetria esférica.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
-
é o fluxo elétrico total. -
é a carga encerrada pela superfície gaussiana. -
é a constante de permissividade do vácuo.
Para uma esfera gaussiana de raio
, a carga encerrada é
. Devido à simetria, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em toda a superfície e é radial.
Então, o fluxo elétrico fica:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o campo elétrico dentro da esfera (
). Como a esfera é condutora, a carga se distribui na superfície. Portanto, não há carga no interior da esfera condutora (
).
Aplicando novamente a Lei de Gauss para uma esfera gaussiana de raio
:
Isso significa que:
Portanto, o campo elétrico dentro da esfera condutora é zero.
Passo 4
Agora que temos as expressões para
tanto dentro quanto fora da esfera, podemos resumir:
-
Dentro da esfera (
): -
Fora da esfera (
):
Onde
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 5
Finalmente, vamos descrever como seria o gráfico da dependência de
em função de
:
- Para
, o campo elétrico permanece zero. - No ponto
, ocorre uma descontinuidade abrupta, passando de zero para . - Para
, o campo elétrico decai seguindo uma lei do inverso do quadrado ( ).
Imagine um gráfico onde no eixo horizontal temos
e no vertical
. A curva fica em zero até
e, a partir daí, começa a decair rapidamente conforme
.
Resposta
O campo elétrico
é dado por:
Graficamente,
é zero dentro da esfera (
), apresenta um salto no ponto
, e decai proporcionalmente a
fora da esfera.
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