Use a lei de Gauss para calcular a capacitância do capacitor esférico, agora considerando que o volume entre as cascas esféricas concêntricas é preenchido por um óleo isolante com uma constante dielétrica .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um capacitor esférico, que é basicamente duas cascas esféricas concêntricas, tipo uma bolha dentro da outra. A gente precisa calcular a capacitância desse capacitor usando a Lei de Gauss. Além disso, o espaço entre essas cascas está preenchido com um óleo isolante que tem uma constante dielétrica . Então, para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, campos elétricos em geometria esférica e a definição de capacitância, especialmente considerando a presença do dielétrico .
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico entre as duas cascas esféricas. A Lei de Gauss nos ajuda a calcular campos elétricos em situações com simetria. Ela é dada por:
Aqui, é o campo elétrico, é um elemento de área, é a carga total dentro da superfície gaussiana, e é a permissividade do meio. No nosso caso, a permissividade será , já que temos o óleo isolante com constante dielétrica .
Passo 3
Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica com raio entre as duas cascas, ou seja, , onde é o raio da casca interna e o da externa. Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :
Então, o campo elétrico entre as cascas é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre as duas cascas. Sabemos que:
Substituindo :
Passo 5
Por fim, a capacitância C = QV = QQ4pi epsilon0 K ( 1a - 1b ) = 4pi epsilon0 K( 1a - 1b ) é definida como a carga C = 4pi epsilon0 K a bb - a dividida pela diferença de potencial :