Use a lei de Gauss para calcular a capacitância do capacitor esférico, agora considerando que o volume entre as cascas esféricas concêntricas é preenchido por um óleo isolante com uma constante dielétrica K.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um capacitor esférico, que é basicamente duas cascas esféricas concêntricas, tipo uma bolha dentro da outra. A gente precisa calcular a capacitância desse capacitor usando a Lei de Gauss. Além disso, o espaço entre essas cascas está preenchido com um óleo isolante que tem uma constante dielétrica . Então, para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, campos elétricos em geometria esférica e a definição de capacitância, especialmente considerando a presença do dielétrico .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico entre as duas cascas esféricas. A Lei de Gauss nos ajuda a calcular campos elétricos em situações com simetria. Ela é dada por:
oint E cdot dA = Qintepsilon
Aqui, é o campo elétrico, é um elemento de área, é a carga total dentro da superfície gaussiana, e é a permissividade do meio. No nosso caso, a permissividade será , já que temos o óleo isolante com constante dielétrica .

Passo 3

Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica com raio E cdot 4pi r^2 = Qepsilon0 K entre as duas cascas, ou seja, E = Q4pi epsilon0 K r^2 , onde E(r) = Q4pi epsilon0 K r^2 é o raio da casca interna e o da externa. Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :
Então, o campo elétrico entre as cascas é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença de potencial V = integrala^b E(r) , dr entre as duas cascas. Sabemos que:
V = integrala^b Q4pi epsilon0 K r^2 , dr = Q4pi epsilon0 K ( -1r ) g|a^b = Q4pi epsilon0 K ( 1a - 1b )
Substituindo :

Passo 5

Por fim, a capacitância C = QV = QQ4pi epsilon0 K ( 1a - 1b ) = 4pi epsilon0 K( 1a - 1b ) é definida como a carga C = 4pi epsilon0 K a bb - a dividida pela diferença de potencial :
Simplificando:

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é:
C = 4pi epsilon0 K a bb - a

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