Uma pequena esfera, partindo do repouso da posição
, desliza sem atrito sobre uma canaleta semicircular, contida num plano vertical. Determine a intensidade da força normal que a canaleta exerce na esfera quando esta passa pela posição mais baixa
. Dados: massa da esfera
; aceleração da gravidade (g).
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos uma esfera pequenininha com massa
que começa parada no ponto
e desliza sem atrito por uma canaleta semicircular que está num plano vertical. Queremos descobrir qual é a força normal que a canaleta exerce na esfera quando ela chega no ponto mais baixo, o
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia da esfera. No ponto
, a esfera está parada, então ela tem apenas energia potencial gravitacional. Quando ela chega no ponto
, toda essa energia potencial virou energia cinética (energia do movimento).
A energia potencial no ponto
é dada por:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura, que no caso de uma semicircular é igual ao diâmetro da canaleta, ou seja, .
Portanto:
No ponto
, a energia cinética é:
onde
é a velocidade da esfera no ponto
.
Pela conservação de energia (como não tem atrito):
Então:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 3
Agora que sabemos a velocidade da esfera no ponto
, vamos calcular a força normal
que a canaleta exerce na esfera nesse ponto.
No ponto mais baixo
, a esfera está em movimento circular, e para manter esse movimento, ela precisa de uma força centrípeta. A força centrípeta é dada por:
Substituindo
:
Além da força centrípeta, a esfera também está sujeita à força da gravidade, que é
. A força normal
precisa equilibrar ambas as forças:
Resposta
A intensidade da força normal que a canaleta exerce na esfera no ponto
é
.
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