Uma pequena esfera, partindo do repouso da posição A, desliza sem atrito sobre uma canaleta semicircular, contida num plano vertical. Determine a intensidade da força normal que a canaleta exerce na esfera quando esta passa pela posição mais baixa B. Dados: massa da esfera (m); aceleração da gravidade (g).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos uma esfera pequenininha com massa que começa parada no ponto e desliza sem atrito por uma canaleta semicircular que está num plano vertical. Queremos descobrir qual é a força normal que a canaleta exerce na esfera quando ela chega no ponto mais baixo, o . Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia da esfera. No ponto Ep = mgh , a esfera está parada, então ela tem apenas energia potencial gravitacional. Quando ela chega no ponto Ep = mg times 2r = 2mgr , toda essa energia potencial virou energia cinética (energia do movimento).
A energia potencial no ponto Ec = 12mv^2 é dada por:
Ep = Ec
onde:
  • 2mgr = 12mv^2 é a massa da esfera,
  • v^2 = 4gr é a aceleração da gravidade,
  • é a altura, que no caso de uma semicircular é igual ao diâmetro da canaleta, ou seja, .
Portanto:
No ponto , a energia cinética é:
onde é a velocidade da esfera no ponto .
Pela conservação de energia (como não tem atrito):
Então:
Agora, vamos resolver para :

Passo 3

Agora que sabemos a velocidade da esfera no ponto Fc = mv^2r , vamos calcular a força normal Fc = m times 4grr = 4mg que a canaleta exerce na esfera nesse ponto.
No ponto mais baixo N = Fc + mg = 4mg + mg = 5mg , a esfera está em movimento circular, e para manter esse movimento, ela precisa de uma força centrípeta. A força centrípeta é dada por:
Substituindo :
Além da força centrípeta, a esfera também está sujeita à força da gravidade, que é . A força normal precisa equilibrar ambas as forças:

Resposta

A intensidade da força normal que a canaleta exerce na esfera no ponto é .

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