Uma pequena faculdade tem 800 alunos, 10% dos quais são canhotos. Suponha que eles tomem uma mostra de 4 alunos. Seja X = o número de alunos canhotos na amostra. Qual é a probabilidade de que exatamente 2 dos 4 alunos sejam canhotos? Você pode arredondar sua resposta para a segunda casa decimal.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma faculdade com 800 alunos, e 10% deles são canhotos. Queremos tirar uma amostra de 4 alunos e descobrir qual a probabilidade de exatamente 2 desses 4 serem canhotos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula. Sabemos que:
  • A probabilidade de um aluno ser canhoto ( p) é 10%, ou seja, p = 0,10.
  • A probabilidade de um aluno não ser canhoto ( q) é 90%, então q = 0,90.
  • O tamanho da amostra ( n) é 4.
  • O número de sucessos que queremos ( k) é 2.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da distribuição binomial, que nos dá a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas:
P(X = k) = binomnk times p^k times q^n-k
Onde binomnk é o número de combinações de n itens tomados k de cada vez.

Passo 4

Vamos calcular binom42, que é o número de maneiras de escolher 2 alunos canhotos entre 4:
binom42 = 4!2!(4-2)! = 4 times 32 times 1 = 6

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula:
P(X = 2) = 6 times (0,10)^2 times (0,90)^4-2
P(X = 2) = 6 times 0,01 times 0,81

Passo 6

Fazendo as contas:
P(X = 2) = 6 times 0,0081 = 0,0486

Resposta

A probabilidade de que exatamente 2 dos 4 alunos sejam canhotos é 4,86%.

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