Uma pequena usina geradora fornece tensão com valor eficaz de 1000 V e 60 Hz . Esta usina alimenta uma carga resistiva de 10 kW e 20kVA de motores de indução. Os motores possuem um fator de potência atrasado igual a 0,7 . Com base nestas informações, determine o valor da capacitância a ser conectada em paralelo com as cargas para corrigir o fator de potência para 0,95 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma usina que fornece uma tensão de 1000 V e trabalha a 60 Hz. Essa usina está alimentando duas cargas: uma carga resistiva de 10 kW e motores de indução que demandam 20 kVA com um fator de potência atrasado de 0,7. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a capacitância que a gente precisa adicionar em paralelo com essas cargas para melhorar o fator de potência total para 0,95. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre potência ativa, reativa e como o fator de potência funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que potência ativa § é aquela que realmente realiza trabalho, como a potência na carga resistiva. Já a potência aparente (S) é a combinação das potências ativa e reativa (Q), que é a potência que oscila entre a fonte e a carga devido a elementos indutivos ou capacitivos. O fator de potência (fp) é a relação entre a potência ativa e a potência aparente, dado por:
fp = PS

Passo 3

Vamos calcular a potência reativa dos motores de indução. Sabemos que a potência aparente dos motores é de 20 kVA e o fator de potência é 0,7. Usando a fórmula do fator de pot��ncia:
Qmotores = Smotores times sin(arccos(fp))
Mas podemos simplificar usando:
Q = S times raiz1 - fp^2
Substituindo os valores:
Qmotores = 20 times raiz1 - 0,7^2 = 20 times raiz1 - 0,49 = 20 times raiz0,51 approx 20 times 0,714 = 14,28 kVAR
Então, os motores têm uma potência reativa de aproximadamente 14,28 kVAR.

Passo 4

Agora, vamos considerar a carga resistiva de 10 kW. Como ela é resistiva, não há potência reativa associada a ela. Portanto, a potência total ativa fornecida pela usina é de 10 kW (resistiva) mais os 14,28 kVAR dos motores (que não contribuem para a potência ativa adicional).

Passo 5

A potência aparente total (S_total) é a combinação da potência ativa total (P_total) e da potência reativa total (Q_total). Calculando:
Ptotal = 10 kW
Qtotal = 14,28 kVAR
Stotal = raizPtotal^2 + Qtotal^2 = raiz10^2 + 14,28^2 approx raiz100 + 204 approx raiz304 approx 17,44 kVA

Passo 6

Queremos melhorar o fator de potência para 0,95. Isso significa que a nova potência aparente (S_nova) será relacionada à potência ativa total pela fórmula:
Snova = Ptotalfpnovo = 100,95 approx 10,53 kVA

Passo 7

Com o novo valor de S_nova, podemos encontrar a nova potência reativa (Q_nova):
Qnova = raizSnova^2 - Ptotal^2 = raiz10,53^2 - 10^2 approx raiz110,76 - 100 approx raiz10,76 approx 3,28 kVAR

Passo 8

A diferença entre a potência reativa atual e a desejada é o que precisamos compensar com a capacitância:
Qc = Qtotal - Qnova = 14,28 - 3,28 = 11 kVAR

Passo 9

Agora, vamos relacionar a potência reativa da capacitância (Qc) com a capacitância © usando a fórmula:
Qc = V^2 times 2pi f C
Queremos resolver para C:
C = QcV^2 times 2pi f
Substituindo os valores:
C = 11 times 10^3(1000)^2 times 2 times pi times 60
C = 11 times 10^31 times 10^6 times 377
C = 11 times 10^3377 times 10^6
C approx 11377 times 10^3
C approx 2,92 times 10^-5 F
Convertendo para microfarads (µF):
C approx 29,2 µF µ

Resposta

A capacitância necessária para corrigir o fator de potência para 0,95 é de aproximadamente 29,2 µF.

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