Um pequeno projétil é disparado verticalmente para baixo em um meio fluido com uma velocidade inicial de 60 m / s. Devido à resistência do arrasto do fluido, o projétil experimenta uma desaceleração de a=(-0,4 v^3) m / s^2, onde v é dada em m / s. Determine a velocidade do projétil e a posição 4 s após ele ser disparado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil que é lançado verticalmente para baixo com uma velocidade inicial de 60 , m/s. Ele está se movendo em um fluido, o que faz com que a resistência do arrasto cause uma desaceleração proporcional ao cubo da velocidade, ou seja, a = -0,4v^3. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade e a posição do projétil após 4 segundos do disparo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e equações diferenciais, já que a aceleração depende da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre aceleração e velocidade. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt
Dado que a = -0,4v^3, substituímos na equação:
dvdt = -0,4v^3
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar v(t).

Passo 3

Vamos separar as variáveis para integrar. Reorganizamos a equação:
dvv^3 = -0,4 , dt
Agora, integramos ambos os lados:
integral 1v^3 , dv = integral -0,4 , dt
A integral do lado esquerdo:
integral v^-3 , dv = v^-2-2 + C = -12v^2 + C
E do lado direito:
integral -0,4 , dt = -0,4t + C
Igualando as integrais (e considerando a constante de integração como zero para simplificar):
-12v^2 = -0,4t

Passo 4

Agora, vamos resolver para v(t). Multiplicamos ambos os lados por -1:
12v^2 = 0,4t
Multiplicamos ambos os lados por 2v^2:
1 = 0,8v^2 t
Agora, isolamos v^2:
v^2 = 10,8t
E tiramos a raiz quadrada:
v(t) = raiz10,8t = 1raiz0,8t
Simplificando:
v(t) = 1raiz0,8 cdot raizt = 10,8944 cdot raizt approx 1,118raizt

Passo 5

Agora que temos v(t), vamos encontrar a posição s(t) após 4 segundos. A posição é a integral da velocidade:
s(t) = integral v(t) , dt = integral 1,118raizt , dt
Integrando:
s(t) = 1,118 cdot 2raizt + C = 2,236raizt + C
Como a posição inicial s(0) = 0, a constante C = 0. Então:
s(t) = 2,236raizt

Resposta

Após 4 segundos, a velocidade do projétil é aproximadamente v(4) approx 1,118raiz4 = 1,1182 approx 0,559 , m/s e a posição é s(4) = 2,236 times raiz4 = 2,236 times 2 = 4,472 , m.

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