Um pequeno projétil é disparado verticalmente para baixo em um meio fluido com uma velocidade inicial de
. Devido à resistência do arrasto do fluido, o projétil experimenta uma desaceleração de
, onde
é dada
. Determine a velocidade do projétil e a posição 4 s após ele ser disparado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil que é lançado verticalmente para baixo com uma velocidade inicial de
. Ele está se movendo em um fluido, o que faz com que a resistência do arrasto cause uma desaceleração proporcional ao cubo da velocidade, ou seja,
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade e a posição do projétil após 4 segundos do disparo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e equações diferenciais, já que a aceleração depende da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre aceleração e velocidade. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Dado que
, substituímos na equação:
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 3
Vamos separar as variáveis para integrar. Reorganizamos a equação:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
E do lado direito:
Igualando as integrais (e considerando a constante de integração como zero para simplificar):
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
E tiramos a raiz quadrada:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar a posição
após 4 segundos. A posição é a integral da velocidade:
Integrando:
Como a posição inicial
, a constante
. Então:
Resposta
Após 4 segundos, a velocidade do projétil é aproximadamente
e a posição é
.