LISTA DE EXERCÍCIOS 04
Assuntos: Transformação de tensão, equações de transformação e Círculo de Mohr.
Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 60^circ em sentido horário em relação ao elemento mostrado usando as equações de transformação de tensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o estado de tensão equivalente em um elemento que foi girado 60 graus no sentido horário. Para isso, vamos trabalhar com Transformação de Tensão, usar as Equações de Transformação de Tensão e, se precisar, podemos dar uma olhada rápida no Círculo de Mohr. Basicamente, vamos descobrir como as tensões mudam quando o elemento é rotacionado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as tensões em um elemento. Em geral, temos duas tensões normais e uma tensão de cisalhamento:
  • σₓ: Tensão normal na direção x.
  • σᵧ: Tensão normal na direção y.
  • τₓᵧ: Tensão de cisalhamento no plano xy.
Quando o elemento é girado em um ângulo θ, essas tensões mudam. Nosso objetivo é encontrar as novas tensões σ′ₓ, σ′ᵧ e τ′ₓᵧ após essa rotação.

Passo 3

Para encontrar as tensões após a rotação, usamos as Equações de Transformação de Tensão. Essas equações relacionam as tensões originais com as tensões rotacionadas. As fórmulas são as seguintes:
sigma'x &= sigmax + sigmay2 + sigmax - sigmay2 cos(2theta) + tauxy sin(2theta) sigma'y &= sigmax + sigmay2 - sigmax - sigmay2 cos(2theta) - tauxy sin(2theta) tau'xy &= -sigmax - sigmay2 sin(2theta) + tauxy cos(2theta)
Aqui, θ é o ângulo de rotação; no nosso caso, 60 graus.

Passo 4

Vamos entender cada parte dessas equações:
  • sigmax + sigmay2: É a média das tensões normais originais.
  • sigmax - sigmay2 cos(2theta): Representa a variação das tensões normais devido à diferença entre σₓ e σᵧ.
  • tauxy sin(2theta): Mostra como a tensão de cisalhamento original influencia as novas tensões normais.
  • Para a tensão de cisalhamento τ’ₓᵧ, ela depende tanto da diferença entre σₓ e σᵧ quanto da tensão de cisalhamento original, ajustadas pelo seno e cosseno de 2θ.

Passo 5

Agora, substituímos o valor de θ = 60° nas equações. Primeiro, precisamos calcular 2θ = 120°. Vamos usar as funções trigonométricas:
cos(120°) = -0,5 sin(120°) = raiz32 approx 0,866

Passo 6

Substituindo esses valores nas equações:
sigma'x &= sigmax + sigmay2 + sigmax - sigmay2 times (-0,5) + tauxy times 0,866 sigma'y &= sigmax + sigmay2 - sigmax - sigmay2 times (-0,5) - tauxy times 0,866 tau'xy &= -sigmax - sigmay2 times 0,866 + tauxy times (-0,5)

Passo 7

Vamos simplificar cada expressão:
sigma'x &= sigmax + sigmay2 - sigmax - sigmay4 + 0,866,tauxy sigma'y &= sigmax + sigmay2 + sigmax - sigmay4 - 0,866,tauxy tau'xy &= -0,866 times sigmax - sigmay2 - 0,5,tauxy

Passo 8

Podemos ainda combinar os termos semelhantes:
sigma'x &= 2(sigmax + sigmay) - (sigmax - sigmay)4 + 0,866,tauxy = sigmax + 3sigmay4 + 0,866,tauxy sigma'y &= 2(sigmax + sigmay) + (sigmax - sigmay)4 - 0,866,tauxy = 3sigmax + sigmay4 - 0,866,tauxy tau'xy &= -0,433,(sigmax - sigmay) - 0,5,tauxy

Passo 9

Então, reunindo tudo, as tensões equivalentes no elemento rotacionado 60° no sentido horário são:
sigma'x &= sigmax + 3sigmay4 + 0,866,tauxy sigma'y &= 3sigmax + sigmay4 - 0,866,tauxy tau'xy &= -0,433,(sigmax - sigmay) - 0,5,tauxy

Resposta

As tensões equivalentes no elemento orientado 60° no sentido horário são:
sigma'x &= sigmax + 3sigmay4 + 0,866,tauxy sigma'y &= 3sigmax + sigmay4 - 0,866,tauxy tau'xy &= -0,433,(sigmax - sigmay) - 0,5,tauxy

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