LISTA DE EXERCÍCIOS 04
Assuntos: Transformação de tensão, equações de transformação e Círculo de Mohr.
Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a
sentido horário em relação ao elemento mostrado usando as equações de transformação de tensão.
Assuntos: Transformação de tensão, equações de transformação e Círculo de Mohr.
Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o estado de tensão equivalente em um elemento que foi girado 60 graus no sentido horário. Para isso, vamos trabalhar com Transformação de Tensão, usar as Equações de Transformação de Tensão e, se precisar, podemos dar uma olhada rápida no Círculo de Mohr. Basicamente, vamos descobrir como as tensões mudam quando o elemento é rotacionado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as tensões em um elemento. Em geral, temos duas tensões normais e uma tensão de cisalhamento:
- σₓ: Tensão normal na direção x.
- σᵧ: Tensão normal na direção y.
- τₓᵧ: Tensão de cisalhamento no plano xy.
Quando o elemento é girado em um ângulo θ, essas tensões mudam. Nosso objetivo é encontrar as novas tensões σ′ₓ, σ′ᵧ e τ′ₓᵧ após essa rotação.
Passo 3
Para encontrar as tensões após a rotação, usamos as Equações de Transformação de Tensão. Essas equações relacionam as tensões originais com as tensões rotacionadas. As fórmulas são as seguintes:
Aqui, θ é o ângulo de rotação; no nosso caso, 60 graus.
Passo 4
Vamos entender cada parte dessas equações:
-
: É a média das tensões normais originais. -
: Representa a variação das tensões normais devido à diferença entre σₓ e σᵧ. -
: Mostra como a tensão de cisalhamento original influencia as novas tensões normais. - Para a tensão de cisalhamento τ’ₓᵧ, ela depende tanto da diferença entre σₓ e σᵧ quanto da tensão de cisalhamento original, ajustadas pelo seno e cosseno de 2θ.
Passo 5
Agora, substituímos o valor de θ = 60° nas equações. Primeiro, precisamos calcular 2θ = 120°. Vamos usar as funções trigonométricas:
Passo 6
Substituindo esses valores nas equações:
Passo 7
Vamos simplificar cada expressão:
Passo 8
Podemos ainda combinar os termos semelhantes:
Passo 9
Então, reunindo tudo, as tensões equivalentes no elemento rotacionado 60° no sentido horário são:
Resposta
As tensões equivalentes no elemento orientado 60° no sentido horário são: