Um pequeno reservatório contém água (massa específica de
) com uma profundidade inicial
. O diâmetro do reservatório é
. Um furo com diâmetro
aparece no fundo do reservatório. Use aceleração da gravidade igual à
. Uma solução aceitável para estimar o tempo de esvaziamento do reservatório é utilizar os seguintes passos, considerando pressão hidrostática média e escoamento permanente:
- Cálculo da força hidrostática no furo;
- Cálculo da velocidade do escoamento no furo;
- Cálculo da vazão do escoamento no furo;
- Cálculo do tempo necessário para o esvaziamento do reservatório.
Usando a solução exata a seguir, calcule a o tempo que o reservatório ficará vazio e diga o erro comparado com a solução anterior (dos passos).
Há diferenças entre as soluções? Explique o porquê.
Usando a solução exata a seguir, calcule a o tempo que o reservatório ficará vazio e diga o erro comparado com a solução anterior (dos passos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório cheio de água com uma profundidade inicial de 34,5 cm e um diâmetro de 9,5 cm. Apareceu um furo bem pequenininho no fundo, com diâmetro de 0,08 mm. A nossa missão é descobrir quanto tempo a água leva para esvaziar esse reservatório. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidrostática e fluxo de água. Vamos precisar das fórmulas de pressão, velocidade do fluxo e vazão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a força hidrostática no furo. A pressão hidrostática média
é dada por:
Onde:
-
(massa específica da água) -
(aceleração da gravidade) -
(profundidade inicial)
Substituindo:
Agora, a força
no furo é:
Onde
é a área do furo:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade do escoamento no furo usando a fórmula de Torricelli:
Passo 4
Em seguida, a vazão
do escoamento é dada por:
Passo 5
Para encontrar o tempo necessário para esvaziar o reservatório, precisamos saber o volume total de água inicialmente:
Primeiro, calculamos a área do reservatório:
Então,
Agora, o tempo
é:
Passo 6
Agora, vamos usar a solução exata para calcular o tempo de esvaziamento:
Quando o reservatório está vazio,
:
Então,
Despejando
:
Substituindo os valores:
Resposta
O tempo calculado pelos passos aproximados é de aproximadamente 73,75 horas, enquanto pela solução exata, o tempo é de aproximadamente 230 horas. Isso mostra que há uma diferença significativa entre as duas soluções. A diferença ocorre porque a abordagem passo a passo assume que a vazão permanece constante, ignorando a variação da profundidade da água ao longo do tempo. Já a solução exata leva em conta essa variação, resultando em um tempo de esvaziamento maior.