Um pequeno reservatório contém água (massa específica de ) com uma profundidade inicial . O diâmetro do reservatório é . Um furo com diâmetro aparece no fundo do reservatório. Use aceleração da gravidade igual à . Uma solução aceitável para estimar o tempo de esvaziamento do reservatório é utilizar os seguintes passos, considerando pressão hidrostática média e escoamento permanente:
  • Cálculo da força hidrostática no furo;
  • Cálculo da velocidade do escoamento no furo;
  • Cálculo da vazão do escoamento no furo;
  • Cálculo do tempo necessário para o esvaziamento do reservatório.
    Usando a solução exata a seguir, calcule a o tempo que o reservatório ficará vazio e diga o erro comparado com a solução anterior (dos passos).
Há diferenças entre as soluções? Explique o porquê.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório cheio de água com uma profundidade inicial de 34,5 cm e um diâmetro de 9,5 cm. Apareceu um furo bem pequenininho no fundo, com diâmetro de 0,08 mm. A nossa missão é descobrir quanto tempo a água leva para esvaziar esse reservatório. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidrostática e fluxo de água. Vamos precisar das fórmulas de pressão, velocidade do fluxo e vazão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força hidrostática no furo. A pressão hidrostática média é dada por:
Onde:
  • (massa específica da água)
  • (aceleração da gravidade)
  • (profundidade inicial)
Substituindo:
Agora, a força no furo é:
Onde é a área do furo:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade do escoamento no furo usando a fórmula de Torricelli:

Passo 4

Em seguida, a vazão do escoamento é dada por:

Passo 5

Para encontrar o tempo necessário para esvaziar o reservatório, precisamos saber o volume total de água inicialmente:
ó
Primeiro, calculamos a área do reservatório:
ó
Então,
Agora, o tempo é:

Passo 6

Agora, vamos usar a solução exata para calcular o tempo de esvaziamento:
Quando o reservatório está vazio, :
Então,
Despejando :
Substituindo os valores:

Resposta

O tempo calculado pelos passos aproximados é de aproximadamente 73,75 horas, enquanto pela solução exata, o tempo é de aproximadamente 230 horas. Isso mostra que há uma diferença significativa entre as duas soluções. A diferença ocorre porque a abordagem passo a passo assume que a vazão permanece constante, ignorando a variação da profundidade da água ao longo do tempo. Já a solução exata leva em conta essa variação, resultando em um tempo de esvaziamento maior.

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