Um pequeno reservatório contém água (massa específica de 999 kg / m^3) com uma profundidade inicial y0=34,5 cm. O diâmetro do reservatório é D=9,5 cm. Um furo com diâmetro d=0,08 mm aparece no fundo do reservatório. Use aceleração da gravidade igual à 9,78 m / s^2. Uma solução aceitável para estimar o tempo de esvaziamento do reservatório é utilizar os seguintes passos, considerando pressão hidrostática média e escoamento permanente:
  • Cálculo da força hidrostática no furo;
  • Cálculo da velocidade do escoamento no furo;
  • Cálculo da vazão do escoamento no furo;
  • Cálculo do tempo necessário para o esvaziamento do reservatório.
    Usando a solução exata a seguir, calcule a o tempo que o reservatório ficará vazio e diga o erro comparado com a solução anterior (dos passos).
y exata (t)=[raizy0-(dD)^2 raizg2 t]^2
Há diferenças entre as soluções? Explique o porquê.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório cheio de água com uma profundidade inicial de 34,5 cm e um diâmetro de 9,5 cm. Apareceu um furo bem pequenininho no fundo, com diâmetro de 0,08 mm. A nossa missão é descobrir quanto tempo a água leva para esvaziar esse reservatório. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidrostática e fluxo de água. Vamos precisar das fórmulas de pressão, velocidade do fluxo e vazão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força hidrostática no furo. A pressão hidrostática média P = 12 rho g y0 é dada por:
P = 12 times 999 times 9,78 times 0,345 approx 1682,5 , Pa
Onde:
  • F = P times A (massa específica da água)
  • A = pi (d2)^2 = pi (0,000082)^2 approx 5.027 times 10^-9 , m^2 (aceleração da gravidade)
  • F = 1682,5 times 5.027 times 10^-9 approx 8.458 times 10^-6 , N (profundidade inicial)
Substituindo:
Agora, a força no furo é:
Onde é a área do furo:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade do escoamento no furo usando a fórmula de Torricelli:
v = raiz2 Prho = raiz2 times 1682,5999 approx raiz3,37 approx 1,838 , m/s

Passo 4

Em seguida, a vazão Q = A times v = 5.027 times 10^-9 times 1,838 approx 9.23 times 10^-9 , m^3/s do escoamento é dada por:

Passo 5

Para encontrar o tempo necessário para esvaziar o reservatório, precisamos saber o volume total de água inicialmente:
V = Areservatório times y0 ó
Primeiro, calculamos a área do reservatório:
Areservatório = pi (D2)^2 = pi (0,0952)^2 approx 7.09 times 10^-3 , m^2 ó
Então,
V = 7.09 times 10^-3 times 0,345 approx 2.45 times 10^-3 , m^3
Agora, o tempo t = VQ = 2.45 times 10^-39.23 times 10^-9 approx 2.655 times 10^5 , s approx 73,75 , horas é:

Passo 6

Agora, vamos usar a solução exata para calcular o tempo de esvaziamento:
yexata(t) = [raizy0 - (dD)^2 raizg2 t]^2
Quando o reservatório está vazio, 0 = [raizy0 - (dD)^2 raizg2 t]^2 :
raizy0 = (dD)^2 raizg2 t
Então,
t = raizy0(dD)^2 raizg2
Despejando t = raiz0,345(0,000080,095)^2 raiz9,782 approx 0,587(8.42 times 10^-4)^2 times 2.21 approx 0,5877.08 times 10^-7 approx 8.29 times 10^5 , s approx 230 , horas :
Substituindo os valores:

Resposta

O tempo calculado pelos passos aproximados é de aproximadamente 73,75 horas, enquanto pela solução exata, o tempo é de aproximadamente 230 horas. Isso mostra que há uma diferença significativa entre as duas soluções. A diferença ocorre porque a abordagem passo a passo assume que a vazão permanece constante, ignorando a variação da profundidade da água ao longo do tempo. Já a solução exata leva em conta essa variação, resultando em um tempo de esvaziamento maior.

Exercícios relacionados