O perfil de velocidade do escoamento turbulento em um tubo pode ser aproximado por:
vr=vmax (1-rR)^1 / n
Em que v é a velocidade axial local e v max é a velocidade axial na linha de centro do tubo, R é o raio interno do tubo, r é a coordenada radial medida a partir da linha de centro e n é uma constante. Determine:
a) A razão entre a velocidade média e a velocidade máxima para este perfil de velocidade;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. A gente tem um tubo com fluxo turbulento, e a velocidade do fluido nesse tubo varia de acordo com a posição radial. A equação que descreve essa variação é:
vr = vmax (1 - rR)^1/n
Aqui, vr é a velocidade em uma posição radial r, vmax é a velocidade no centro do tubo, R é o raio do tubo e n é uma constante. O que precisamos encontrar é a razão entre a velocidade média ( vm) e a velocidade máxima ( vmax) desse perfil de velocidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integração em coordenadas polares para achar a velocidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade média ( vm). Basicamente, é a média das velocidades em toda a seção transversal do tubo. Matematicamente, isso é calculado integrando a velocidade local vr sobre a área da seção e dividindo pela área total.
Como estamos lidando com um tubo circular, é mais fácil usar coordenadas polares para fazer essa integração. A área da seção transversal em coordenadas polares é dada por dA = 2pi r , dr.
Então, a velocidade média fica:
vm = 1pi R^2 integral0^R vr cdot 2pi r , dr

Passo 3

Vamos substituir a expressão de vr na integral:
vm = 2pipi R^2 integral0^R vmax (1 - rR)^1/n r , dr
Simplificando os pi e rearranjando os termos:
vm = 2 vmaxR^2 integral0^R r (1 - rR)^1/n , dr

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = rR, então r = uR e dr = R , du. Alterando os limites de integração:
  • Quando r = 0, u = 0
  • Quando r = R, u = 1
Substituindo na integral:
vm = 2 vmaxR^2 cdot R^2 integral0^1 u (1 - u)^1/n R , du
Os R^2 vão cancelar:
vm = 2 vmax integral0^1 u (1 - u)^1/n , du

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^1 u (1 - u)^1/n , du
Essa integral pode ser resolvida usando propriedades da função Beta, mas vamos simplificar de forma mais direta. Expandindo:
integral0^1 u (1 - u)^1/n , du = n(n + 1)(n + 2)
Portanto:
vm = 2 vmax cdot n(n + 1)(n + 2)

Resposta

A razão entre a velocidade média e a velocidade máxima é:
vmvmax = 2n(n + 1)(n + 2)

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