O perfil de velocidade do escoamento turbulento em um tubo pode ser aproximado por:
Em que v é a velocidade axial local e
é a velocidade axial na linha de centro do tubo, R é o raio interno do tubo, r é a coordenada radial medida a partir da linha de centro e n é uma constante. Determine:
a) A razão entre a velocidade média e a velocidade máxima para este perfil de velocidade;
a) A razão entre a velocidade média e a velocidade máxima para este perfil de velocidade;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. A gente tem um tubo com fluxo turbulento, e a velocidade do fluido nesse tubo varia de acordo com a posição radial. A equação que descreve essa variação é:
Aqui,
é a velocidade em uma posição radial
,
é a velocidade no centro do tubo,
é o raio do tubo e
é uma constante. O que precisamos encontrar é a razão entre a velocidade média (
) e a velocidade máxima (
) desse perfil de velocidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integração em coordenadas polares para achar a velocidade média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a velocidade média (
). Basicamente, é a média das velocidades em toda a seção transversal do tubo. Matematicamente, isso é calculado integrando a velocidade local
sobre a área da seção e dividindo pela área total.
Como estamos lidando com um tubo circular, é mais fácil usar coordenadas polares para fazer essa integração. A área da seção transversal em coordenadas polares é dada por
.
Então, a velocidade média fica:
Passo 3
Vamos substituir a expressão de
na integral:
Simplificando os
e rearranjando os termos:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
e
. Alterando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Os
vão cancelar:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Essa integral pode ser resolvida usando propriedades da função Beta, mas vamos simplificar de forma mais direta. Expandindo:
Portanto:
Resposta
A razão entre a velocidade média e a velocidade máxima é: