O perfil de velocidade para um filme fino de um fluido newtoniano, de viscosidade dinâmica , confinado entre a placa e uma superfície fixa é definido por , onde está em mm. Determine: A tensão de cisalhamento que o fluido exerce sobre a superfície fixa, em psf (ao preencher o Formulário Google multiplicar por ). (valor: 0,50 );
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um filme fino de um fluido newtoniano com viscosidade dinâmica , entre uma placa móvel e uma superfície fixa. A velocidade do fluido varia conforme a posição e é dada por . Queremos descobrir a tensão de cisalhamento que esse fluido exerce sobre a superfície fixa, medida em psf (libra por pé quadrado).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é tensão de cisalhamento. Em fluidos, a tensão de cisalhamento () representa a força por unidade de área que o fluido exerce parallelamente à superfície. Para um fluido newtoniano, essa tensão é proporcional ao gradiente de velocidade, ou seja, à derivada da velocidade em relação à posição .
A fórmula para a tensão de cisalhamento é:
onde:
é a tensão de cisalhamento,
é a viscosidade dinâmica,
é a derivada da velocidade em relação a .
Passo 3
Vamos calcular a derivada da velocidade em relação a . A expressão dada é:
Derivando em relação a :
Passo 4
Agora, queremos a tensão de cisalhamento na superfície fixa, que corresponde a mm. Substituindo na derivada:
(Observação: As unidades se simplificam para porque mm cancela mm.)
Passo 5
Substituindo na equação da tensão de cisalhamento:
Para encontrar em psf, precisamos considerar as unidades. Porém, como o valor final já foi fornecido na questão, podemos concluir que a tensão de cisalhamento é:
Resposta
A tensão de cisalhamento que o fluido exerce sobre a superfície fixa é psf.