O período de oscilação de um oscilador não -linear depende da massa , com dimensões de ; uma constante associada pêndulo á força de restauração, com dimensões de e a amplitude A, com dimensões de L. Uma análise dimensional mostra que o período de oscilação deve ser proporcional a ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta fala sobre o período de oscilação de um oscilador não-linear. Basicamente, queremos descobrir como o período depende da massa , da constante da força de restauração e da amplitude . Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a relacionar grandezas físicas verificando apenas suas unidades. Precisamos conhecer as dimensões de cada variável:
Massa :
Constante :
Amplitude :
Período :
Passo 2
Primeiro, vamos supor que o período depende de , e de forma multiplicativa, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os expoentes , e que fazem com que as dimensões dos dois lados da equação sejam iguais.
Passo 3
Vamos expressar as dimensões de cada lado da equação. O lado esquerdo, o período , tem dimensão . O lado direito é :
Simplificando as dimensões:
Passo 4
Agora, igualamos as dimensões de ambos os lados:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: →
Da primeira equação: →
Da segunda equação: → →
Passo 6
Substituindo os valores encontrados de , e na expressão inicial:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
O período de oscilação é proporcional a , ou seja: