O período de oscilação de um oscilador não -linear depende da massa m, com dimensões de M; uma constante k associada pêndulo á força de restauração, com dimensões de M L ^-2 T^-2 e a amplitude A, com dimensões de L. Uma análise dimensional mostra que o período de oscilação deve ser proporcional a ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta fala sobre o período de oscilação de um oscilador não-linear. Basicamente, queremos descobrir como o período depende da massa , da constante da força de restauração e da amplitude . Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a relacionar grandezas físicas verificando apenas suas unidades. Precisamos conhecer as dimensões de cada variável:
  • Massa :
  • Constante :
  • Amplitude :
  • Período :

Passo 2

Primeiro, vamos supor que o período T propto m^a cdot k^b cdot A^c depende de , e de forma multiplicativa, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os expoentes , e que fazem com que as dimensões dos dois lados da equação sejam iguais.

Passo 3

Vamos expressar as dimensões de cada lado da equação. O lado esquerdo, o período [M]^a cdot [M L^-2 T^-2]^b cdot [L]^c , tem dimensão M^a cdot M^b L^-2b T^-2b cdot L^c = M^a+b L^c-2b T^-2b . O lado direito é :
Simplificando as dimensões:

Passo 4

Agora, igualamos as dimensões de ambos os lados:
M^0 L^0 T^1 = M^a+b L^c-2b T^-2b
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b = 0 c - 2b = 0 -2b = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Da primeira equação:
  3. Da segunda equação:

Passo 6

Substituindo os valores encontrados de T propto m^12 cdot k^-12 cdot A^-1 , T propto raizmraizk cdot A e na expressão inicial:
Podemos reescrever isso como:

Resposta

O período de oscilação T propto raizmraizk , A é proporcional a , ou seja:

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