Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. Determine: que número ocupa o lugar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente permutar os algarismos 1, 2, 4, 6 e 7 de todas as maneiras possíveis, formando números diferentes. Depois, esses números são organizados em ordem crescente, e a gente precisa descobrir qual número está na 66ª posição. Para resolver isso, vamos usar o conceito de permutação, que é uma forma de organizar elementos em uma sequência específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas permutações diferentes podemos fazer com esses 5 algarismos. A fórmula para calcular o número de permutações de n elementos é:
Aqui, temos 5 algarismos, então:
Isso significa que existem 120 números diferentes que podemos formar com esses algarismos.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o número que está na 66ª posição quando esses números são listados em ordem crescente. Para isso, vamos analisar cada posição dos algarismos, começando pela primeira (mais à esquerda).
Cada posição escolhida fixa um algarismo, e os demais podem ser permutados livremente. Como temos 5 algarismos, a cada escolha do primeiro algarismo, restam 4 para permutar, totalizando:
números para cada escolha do primeiro algarismo.

Passo 4

Vamos determinar qual é o primeiro algarismo do número na 66ª posição:
  1. Algarismo 1 na primeira posição: Gera 24 números (1xxxx).
  2. Algarismo 2 na primeira posição: Gera mais 24 números (2xxxx).
Até agora, temos 24 + 24 = 48 números. A 66ª posição está além disso, então seguimos:
  1. Algarismo 4 na primeira posição: Gera mais 24 números (4xxxx).
Agora, totalizamos 48 + 24 = 72 números. Como 66 está entre 49 e 72, o primeiro algarismo é 4.

Passo 5

Agora, fixamos o primeiro algarismo como 4. Precisamos achar a posição relativa dentro desse grupo:
Então, estamos procurando o 18º número dentro dos números que começam com 4.

Passo 6

Agora, vamos determinar o segundo algarismo. Os algarismos restantes são 1, 2, 6 e 7. Para cada escolha do segundo algarismo, haverá:
números.
  1. Algarismo 1 como segundo: Gera 6 números (41xxx).
  2. Algarismo 2 como segundo: Gera mais 6 números (42xxx).
Total até agora: 6 + 6 = 12 números. Ainda não chegamos aos 18, então seguimos:
  1. Algarismo 6 como segundo: Gera mais 6 números (46xxx).
Agora, totalizamos 12 + 6 = 18 números. Então, o segundo algarismo é 6, e estamos procurando o 18º número, que é o último dentro dessa subcategoria.

Passo 7

Com os dois primeiros algarismos fixos como 4 e 6, os algarismos restantes são 1, 2 e 7. Vamos organizar esses três em ordem crescente para encontrar o último número desse conjunto:
São os números:
  • 41267
  • 41276
  • 41726
  • 41762
  • 42176
  • 42617
Como estamos no último (18º dentro do grupo iniciado por 4 e 6), o número que procuramos é o último deste pequeno grupo, que é 42671.

Resposta

O número que ocupa o lugar é 42671.

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