A caminhada no plano cartesiano é dada da seguinte maneira: os passos podem ser dados para cima, para baixo, para a direita, ou para a esquerda. Como um exemplo, se eu parto de um ponto ( ) e dou um passo pra cima, eu chego no ponto . Se todos os caminhos são feito de forma a não desperdiçar passos, quantos caminhos existem entre os pontos e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caminhada no plano cartesiano, onde a gente pode dar passos para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda. Queremos descobrir quantos caminhos diferentes existem entre os pontos e , sem desperdiçar passos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que é a parte da matemática que estuda as contagens e arranjos possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “não desperdiçar passos”. Isso quer dizer que, a cada passo, você está sempre se aproximando de . Ou seja, você só pode mover-se para a direita ou para cima, porque mover para a esquerda ou para baixo te afastaria de .

Passo 3

Para ir de a , você precisa dar 4 passos para a direita (para aumentar o de 0 para 4) e 3 passos para cima (para aumentar o de 0 para 3). No total, isso dá passos.

Passo 4

Agora, queremos saber de quantas formas diferentes podemos organizar esses 7 passos, sendo que 4 deles são para a direita e 3 para cima. Isso é uma questão de arranjo onde estamos escolhendo posições para os passos para a direita ou para cima.

Passo 5

A fórmula para calcular o número de caminhos é a combinação de 7 passos, escolhendo 4 para a direita (ou, de forma equivalente, 3 para cima). A fórmula da combinação é dada por:
Aqui, e , então:

Resposta

Existem 35 caminhos possíveis para ir de a sem desperdiçar passos.

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