Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. Determine: qual o
algarismo escrito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem os números 1, 2, 4, 6 e 7 e queremos ver todas as combinações possíveis desses algarismos, ou seja, todas as permutações. Depois, vamos organizar esses números em ordem crescente e descobrir qual é o 166º algarismo que aparece nessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular permutações e organizar os números em ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quantas permutações diferentes podemos fazer com os cinco algarismos 1, 2, 4, 6 e 7. Como não há repetição de dígitos, o número de permutações é dado por 5!, que significa 5 fatorial.
Então, temos 120 números diferentes formados por esses algarismos.
Passo 3
Agora, como cada número tem 5 dígitos, vamos calcular quantos dígitos teremos ao escrever todos esses números em sequência.
Isso significa que teremos uma sequência de 600 dígitos ao listar todos os números em ordem crescente.
Passo 4
Queremos encontrar o 166º dígito dessa sequência. Para isso, vamos dividir a posição do dígito pelo número de dígitos por número para descobrir em qual número ele está.
Isso quer dizer que o 166º dígito está no 34º número da lista (já que 33 números completos têm 165 dígitos) e é o 1º dígito desse número.
Passo 5
Agora, vamos listar os números em ordem crescente até chegar no 34º número. A ordem começa com 12467, 12476, 12647, …, e assim por diante. Mas para facilitar, vamos usar uma abordagem mais rápida.
Sabemos que cada fixação no primeiro dígito gera 4! = 24 números. Então:
- Números começando com 1: 24 números (do 1º ao 24º)
- Números começando com 2: 24 números (do 25º ao 48º)
- Números começando com 4: 24 números (do 49º ao 72º)
- Números começando com 6: 24 números (do 73º ao 96º)
- Números começando com 7: 24 números (do 97º ao 120º)
Queremos o 34º número, que está na segunda faixa, ou seja, começando com 2.
Passo 6
Dentro dos números que começam com 2, queremos o 10º número (já que 34 - 24 = 10). Agora, fixamos o primeiro dígito como 2 e vamos ver o segundo dígito.
Com o primeiro dígito fixo em 2, temos 4 algarismos restantes: 1, 4, 6, 7. Cada fixação do segundo dígito gera 3! = 6 números.
- Números com 21: 6 números (do 25º ao 30º)
- Números com 24: 6 números (do 31º ao 36º)
O 34º número está na segunda subfaixa, começando com 24.
Passo 7
Agora, queremos o 4º número na faixa que começa com 24 (já que 34 - 30 = 4). Fixamos os dois primeiros dígitos como 24 e temos os algarismos restantes: 1, 6, 7.
Vamos listar essas permutações:
- 24167
- 24176
- 24617
- 24671
Passo 8
O 4º número nessa subfaixa é o 24671. Lembrando que queremos o 166º dígito, que corresponde ao 1º dígito desse número.
Resposta
O 166º algarismo escrito é 2.