Quantos números de 5 algarismos podem ser formados usando apenas os algarismos 1, 1, 1, 1, 3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir quantos números de 5 algarismos podem ser formados usando os dígitos 1, 1, 1, 1, 2 e 3. Isso envolve combinatória, especificamente permutação com repetição. Vamos precisar calcular de quantas formas diferentes podemos arranjar esses dígitos considerando que alguns deles se repetem.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar os dígitos que temos disponíveis: quatro 1’s, um 2 e um 3. Precisamos montar números de 5 algarismos usando esses dígitos sem passar do que temos disponível.

Passo 3

Vamos dividir o problema em dois casos com base na quantidade de 1’s que vamos usar:
  • Caso 1: Usar 4 dígitos ‘1’ e 1 dígito que não seja 1 (pode ser 2 ou 3).
  • Caso 2: Usar 3 dígitos ‘1’, 1 dígito ‘2’ e 1 dígito ‘3’.

Passo 4

Caso 1: 4 '1’s e 1 outro dígito (2 ou 3).
  • Escolha do dígito diferente: Temos 2 opções aqui (pode ser o 2 ou o 3).
  • Número de arranjos: Usamos a fórmula de permutação com repetição: .
  • Total deste caso: çõ números.

Passo 5

Caso 2: 3 '1’s, 1 ‘2’ e 1 ‘3’.
  • Número de arranjos: Novamente, aplicamos a fórmula de permutação com repetição: .

Resposta

Somando os dois casos, temos . Portanto, podem ser formados 30 números de 5 algarismos usando os dígitos fornecidos.

Exercícios relacionados

Sejam e conjuntos de números naturais com e . Quantas são as funções não-decrescentes?
Sejam e conjuntos de números naturais com e . Quantas são as funções injetoras?
Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. Determine: que número ocupa o lugar.
Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. Determine: qual o algarismo escrito.