Um peso de 128 kg está suspenso de uma mola cuja constante é de . O peso é posto em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-o acima da posição de equilíbrio e aplicando-lhe simultaneamente uma força externa sen . Desprezando a resistência do ar, determine o movimento subsequente do peso.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um peso de 128 kg ligado a uma mola com constante de mola . Esse peso é puxado 0,5 metros para cima da posição de equilíbrio e, ao mesmo tempo, uma força externa é aplicada. Queremos descobrir como esse peso vai se mover depois disso. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibratória, especificamente a equação do movimento de um sistema massa-mola com força externa.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a massa do peso para a unidade de massa no sistema internacional. Sabemos que a força peso é dada por , onde é a aceleração da gravidade (). Então, a massa é:
Passo 3
A constante da mola nos diz quão rígida é a mola. Temos . A unidade correta deveria ser , mas vamos seguir com conforme o enunciado.
Passo 4
A força externa que está sendo aplicada é . Isso significa que estamos forçando o sistema a oscilar com uma frequência que depende de .
Passo 5
Agora, vamos montar a equação do movimento. Para um sistema massa-mola com força externa e sem resistência do ar, a equação diferencial é:
Onde:
é a massa,
é a constante da mola,
é o deslocamento em função do tempo,
é a força externa.
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar dividindo toda a equação por 13,06:
Aproximando os valores:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea () com uma solução particular da equação completa.
Passo 8
Vamos encontrar a solução homogênea:
A solução é:
Onde , e , são constantes que determinamos pelas condições iniciais.
Passo 9
Agora, encontramos a solução particular. Para a força , supomos uma solução da forma:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral do movimento é a soma das soluções homogênea e particular:
Passo 11
Aplicamos as condições iniciais. Sabemos que no tempo :