Um peso de 128 kg está suspenso de uma mola cuja constante é de 64 kg/m. O peso é posto em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-o 0,5 m acima da posição de equilíbrio e aplicando-lhe simultaneamente uma força externa F(t) = 8 sen 4 t. Desprezando a resistência do ar, determine o movimento subsequente do peso.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um peso de 128 kg ligado a uma mola com constante de mola . Esse peso é puxado 0,5 metros para cima da posição de equilíbrio e, ao mesmo tempo, uma força externa é aplicada. Queremos descobrir como esse peso vai se mover depois disso. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibratória, especificamente a equação do movimento de um sistema massa-mola com força externa.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa do peso para a unidade de massa no sistema internacional. Sabemos que a força peso é dada por , onde é a aceleração da gravidade ( ). Então, a massa é:

Passo 3

A constante da mola nos diz quão rígida é a mola. Temos . A unidade correta deveria ser , mas vamos seguir com conforme o enunciado.

Passo 4

A força externa que está sendo aplicada é . Isso significa que estamos forçando o sistema a oscilar com uma frequência que depende de .

Passo 5

Agora, vamos montar a equação do movimento. Para um sistema massa-mola com força externa e sem resistência do ar, a equação diferencial é:
Onde:
  • é a massa,
  • é a constante da mola,
  • é o deslocamento em função do tempo,
  • é a força externa.

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar dividindo toda a equação por 13,06:
Aproximando os valores:

Passo 7

Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea ( ) com uma solução particular da equação completa.

Passo 8

Vamos encontrar a solução homogênea:
A solução é:
Onde , e , são constantes que determinamos pelas condições iniciais.

Passo 9

Agora, encontramos a solução particular. Para a força , supomos uma solução da forma:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 10

A solução geral do movimento é a soma das soluções homogênea e particular:

Passo 11

Aplicamos as condições iniciais. Sabemos que no tempo :
  • O deslocamento é
  • A velocidade inicial é
Substituindo na solução geral:
Para a velocidade, derivamos :
No tempo :

Passo 12

Substituindo e na solução geral:

Resposta

O movimento subsequente do peso é dado por:

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