Um peso de 128 kg está suspenso de uma mola cuja constante é de
. O peso é posto em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-o
acima da posição de equilíbrio e aplicando-lhe simultaneamente uma força externa
sen
. Desprezando a resistência do ar, determine o movimento subsequente do peso.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um peso de 128 kg ligado a uma mola com constante de mola
. Esse peso é puxado 0,5 metros para cima da posição de equilíbrio e, ao mesmo tempo, uma força externa
é aplicada. Queremos descobrir como esse peso vai se mover depois disso. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibratória, especificamente a equação do movimento de um sistema massa-mola com força externa.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a massa do peso para a unidade de massa no sistema internacional. Sabemos que a força peso
é dada por
, onde
é a aceleração da gravidade (
). Então, a massa
é:
Passo 3
A constante da mola
nos diz quão rígida é a mola. Temos
. A unidade correta deveria ser
, mas vamos seguir com
conforme o enunciado.
Passo 4
A força externa que está sendo aplicada é
. Isso significa que estamos forçando o sistema a oscilar com uma frequência que depende de
.
Passo 5
Agora, vamos montar a equação do movimento. Para um sistema massa-mola com força externa e sem resistência do ar, a equação diferencial é:
Onde:
-
é a massa, -
é a constante da mola, -
é o deslocamento em função do tempo, -
é a força externa.
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar dividindo toda a equação por 13,06:
Aproximando os valores:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea (
) com uma solução particular da equação completa.
Passo 8
Vamos encontrar a solução homogênea:
A solução é:
Onde
, e
,
são constantes que determinamos pelas condições iniciais.
Passo 9
Agora, encontramos a solução particular. Para a força
, supomos uma solução da forma:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral do movimento é a soma das soluções homogênea e particular:
Passo 11
Aplicamos as condições iniciais. Sabemos que no tempo
:
- O deslocamento é
- A velocidade inicial é
Substituindo
na solução geral:
Para a velocidade, derivamos
:
No tempo
:
Passo 12
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
O movimento subsequente do peso é dado por: