Um circuito RCL ligado em série com uma resistência de 16 ohms, um capacitor de 0,02 farad e uma indutância de 2 henries tem uma tensão aplicada E(t) = 100 sen 3 t. Admitindo que não haja corrente nem carga inicial no capacitor, determine uma expressão para a corrente que flui no circuito no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um circuito RCL em série com:
  • Resistência ® de 16 ohms
  • Capacitor © de 0,02 farad
  • Indutância (L) de 2 henries
A tensão aplicada nesse circuito é dada por . Além disso, sabemos que inicialmente não há corrente nem carga no capacitor. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a corrente que está fluindo no circuito no instante .
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações que descrevem circuitos RCL em regime forçado, aplicando a teoria de circuitos de corrente alternada (CA) e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RCL em série, a tensão aplicada é igual à soma das tensões na resistência, no indutor e no capacitor. Ou seja:
Sabemos que:
  • (Lei de Ohm)
  • (Lei da Indutância)
  • (Relação entre carga e capacitor)
Como a tensão aplicada é uma função senoidal, vamos assumir uma solução de corrente que também seja senoidal na forma , onde é a amplitude, é a frequência angular e é a fase.

Passo 3

Vamos expressar todas as tensões em termos de :
Substituindo e a expressão para :
Mas para simplificar, vamos utilizar a impedância total do circuito , que combina a resistência, a reatância indutiva e a reatância capacitiva:
Onde:
  • é a reatância indutiva
  • é a reatância capacitiva
  • é a frequência angular da tensão aplicada (neste caso, rad/s)

Passo 4

Calculando as reatâncias:
Agora, calculamos a impedância total :

Passo 5

Agora que temos a impedância total, podemos encontrar a amplitude da corrente usando a relação:
Onde é a amplitude da tensão aplicada. No caso, , então V.

Passo 6

A corrente no circuito será uma função senoidal com a mesma frequência da tensão aplicada, mas com um deslocamento de fase . Esse deslocamento de fase pode ser calculado usando:
Substituindo os valores:
Calculando :
Convertendo para radianos:
Isso significa que a corrente está atrasada em relação à tensão aplicada.

Passo 7

Finalmente, podemos escrever a expressão para a corrente :

Resposta

A corrente que flui no circuito no instante é dada por:

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