Um circuito RCL ligado em série com uma resistência de 16 ohms, um capacitor de 0,02 farad e uma indutância de 2 henries tem uma tensão aplicada E(t) = 100 sen 3 t. Admitindo que não haja corrente nem carga inicial no capacitor, determine uma expressão para a corrente que flui no circuito no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um circuito RCL em série com:
  • Resistência ® de 16 ohms
  • Capacitor © de 0,02 farad
  • Indutância (L) de 2 henries
A tensão aplicada nesse circuito é dada por . Além disso, sabemos que inicialmente não há corrente nem carga no capacitor. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a corrente que está fluindo no circuito no instante .
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações que descrevem circuitos RCL em regime forçado, aplicando a teoria de circuitos de corrente alternada (CA) e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RCL em série, a tensão aplicada é igual à soma das tensões na resistência, no indutor e no capacitor. Ou seja:
Sabemos que:
  • (Lei de Ohm)
  • (Lei da Indutância)
  • (Relação entre carga e capacitor)
Como a tensão aplicada é uma função senoidal, vamos assumir uma solução de corrente que também seja senoidal na forma , onde é a amplitude, é a frequência angular e é a fase.

Passo 3

Vamos expressar todas as tensões em termos de :
Substituindo e a expressão para :
Mas para simplificar, vamos utilizar a impedância total do circuito , que combina a resistência, a reatância indutiva e a reatância capacitiva:
Onde:
  • é a reatância indutiva
  • é a reatância capacitiva
  • é a frequência angular da tensão aplicada (neste caso, rad/s)

Passo 4

Calculando as reatâncias:
Agora, calculamos a impedância total :

Passo 5

Agora que temos a impedância total, podemos encontrar a amplitude da corrente usando a relação:
Onde é a amplitude da tensão aplicada. No caso, , então V.

Passo 6

A corrente no circuito será uma função senoidal com a mesma frequência da tensão aplicada, mas com um deslocamento de fase . Esse deslocamento de fase pode ser calculado usando:
Substituindo os valores:
Calculando :
Convertendo para radianos:
Isso significa que a corrente está atrasada em relação à tensão aplicada.

Passo 7

Finalmente, podemos escrever a expressão para a corrente :

Resposta

A corrente que flui no circuito no instante é dada por:

Exercícios relacionados

Considere f(x, y) = x^2 + y^2.
b) Descreva a curva formada pela interseção do gráfico de f com o plano x = 1
Sabe-se que quando 3 resistores cujas resistências valem R1, R2 e R3 estão acoplados em paralelo, a resistência equivalente R pode ser calculada através da equação
1R=1R1+1R2+1R3
Encontre partial Rpartial R3.
Um peso de 128 kg está suspenso de uma mola cuja constante é de 64 kg/m. O peso é posto em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-o 0,5 m acima da posição de equilíbrio e aplicando-lhe simultaneamente uma força externa F(t) = 8 sen 4 t. Desprezando a resistência do ar, determine o movimento subsequente do peso.
Resolva: X^prime=[lll1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3] X+[ce^t e^2 t t e^3 t]