Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou. A equação é do tipo , onde é uma matriz e é um vetor de funções. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de sistemas lineares de equações diferenciais, usando autovalores e autovetores para achar a solução geral e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, precisamos encontrar os autovalores () de , que são as soluções da equação característica .
Isso leva a , , e . Parece que há apenas o vetor nulo, o que indica que precisamos considerar soluções generalizadas. Mas, para simplificar, vamos focar no autovalor , que tem um autovetor claro.
Para :
Resolvemos :
Resolvendo, encontramos , e livre. Um autovetor correspondente é .
Passo 5
Agora, a solução geral da parte homogênea é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores:
Xh(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + c3 e^3t 1 1 0
Como tivemos dificuldade com , vamos considerar apenas a parte com para simplificar a explicação.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular Xp(t) = A e^t B e^2t C t e^3t para a equação completa . Usamos o método dos coeficientes indeterminados assumindo uma forma semelhante à de :
Passo 7
Derivamos Xp^,prime(t) = A e^t 2B e^2t C e^3t + 3C t e^3t em relação a :
Substituímos e na equação original e igualamos os coeficientes das funções exponenciais.
Passo 8
Resolva as equações resultantes para A e^t = (1 cdot A e^t + 1 cdot B e^2t + 0) + e^t , 2B e^2t = (1 cdot A e^t + 1 cdot B e^2t + 0) + e^2t e C e^3t + 3C t e^3t = 3 cdot C t e^3t + t e^3t :
Para a primeira equação:
Isso simplifica para , o que implica e .
Para a segunda equação:
Com e , temos , o que confirma .
Para a terceira equação:
Isso nos dá .
Passo 9
Então, a solução particular é:
Xp(t) = e^t 0 t e^3t
Passo 10
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
X(t) = Xh(t) + Xp(t)
Como focamos apenas no autovalor X(t) = c3 e^3t 1 1 0 + e^t 0 t e^3t , a solução completa fica: