O peso de um cigarro é a soma dos pesos do papel e do tabaco, e vale em média 1.200 g com σ= 0.060 g. O peso médio do papel é de 0.040 g com σ=0.020 g. Esses pesos têm distribuição normal. Os cigarros são feitos em uma máquina automática que pesa o tabaco a ser usado, coloca o papel e enrola o cigarro. Determinar o peso médio do fumo em cada cigarro e o desvio-padrão. Qual a probabilidade de que um cigarro tenha menos de 1.130 g de fumo? (Distribuição Normal)

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A pergunta é sobre o peso de um cigarro, que é a soma do peso do papel e do tabaco. A gente precisa descobrir qual é o peso médio do tabaco em cada cigarro, qual é o desvio-padrão desse peso e qual a chance de um cigarro ter menos de 1,130 g de tabaco. Para isso, vamos usar a distribuição normal e algumas propriedades básicas de médias e desvios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o peso total do cigarro é a soma do peso do papel e do tabaco. A média do peso total é 1,200 g e o desvio-padrão é 0,060 g. Já a média do peso do papel é 0,040 g com um desvio-padrão de 0,020 g. Queremos descobrir a média e o desvio-padrão do peso do tabaco.

Passo 3

Para encontrar a média do peso do tabaco, vamos subtrair a média do papel da média total:
Média do tabaco = Média total - Média do papel = 1,200,g - 0,040,g = 1,160,g ééé

Passo 4

Agora, para encontrar o desvio-padrão do peso do tabaco, precisamos considerar que o desvio-padrão de uma diferença de variáveis independentes é calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios-padrão individuais:
sigmatabaco = raiz(sigmatotal)^2 + (sigmapapel)^2 = raiz(0,060)^2 + (0,020)^2 = raiz0,0036 + 0,0004 = raiz0,0040 approx 0,0632,g

Passo 5

Agora que temos a média e o desvio-padrão do peso do tabaco, podemos dizer que o peso do tabaco segue uma distribuição normal com média 1,160 g e desvio-padrão 0,0632 g.

Passo 6

Queremos encontrar a probabilidade de um cigarro ter menos de 1,130 g de tabaco. Para isso, vamos calcular o escore z, que nos diz quantos desvios-padrão um valor está da média:
z = X - musigma = 1,130,g - 1,160,g0,0632,g approx -0,0300,0632 approx -0,474

Passo 7

Com o valor de z, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade acumulada até esse z. Um z de -0,474 corresponde aproximadamente a uma probabilidade de 31,8%.

Resposta

O peso médio do tabaco em cada cigarro é de 1,160 g com um desvio-padrão de aproximadamente 0,0632 g. A probabilidade de que um cigarro tenha menos de 1,130 g de tabaco é de cerca de 31,8%.

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