(Peso: 2,0) Considere uma lâmina triangular
com vértices
e com densidade
. Determine:
A massa total.
A massa total.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lâmina triangular
definida pelos vértices
,
e
. A densidade dessa lâmina é dada por
kg/m². Nosso objetivo é encontrar a massa total dessa lâmina. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geométrica da região
. Sabemos que é um triângulo com vértices em
,
e
. Isso significa que os lados do triângulo estão alinhados com os eixos
e
, e a hipotenusa vai do ponto
até
.
Passo 3
Para calcular a massa total, precisamos integrar a função de densidade sobre toda a área do triângulo. A massa
é dada por:
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando o triângulo, para cada valor de
de 0 a 3, o valor de
varia de 0 até a linha que une
e
. Essa linha tem a equação
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Vamos distribuir
na expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo
:
Calculando os termos:
Somando:
Multiplicando por
:
Resposta
A massa total da lâmina é
kg.
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Determine
.
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O centro de massa.
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.
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, onde
.