(Peso: 2,0) Considere uma lâmina triangular com vértices e com densidade . Determine:
A massa total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lâmina triangular definida pelos vértices , e . A densidade dessa lâmina é dada por kg/m². Nosso objetivo é encontrar a massa total dessa lâmina. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma geométrica da região . Sabemos que é um triângulo com vértices em , e . Isso significa que os lados do triângulo estão alinhados com os eixos e , e a hipotenusa vai do ponto até .

Passo 3

Para calcular a massa total, precisamos integrar a função de densidade sobre toda a área do triângulo. A massa é dada por:
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando o triângulo, para cada valor de de 0 a 3, o valor de varia de 0 até a linha que une e . Essa linha tem a equação .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Vamos distribuir na expressão dentro da integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Substituindo :
Calculando os termos:
Somando:
Multiplicando por :

Resposta

A massa total da lâmina é kg.

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Determine .
(Peso: 2,0) Considere uma lâmina triangular com vértices e com densidade . Determine:
O centro de massa.
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