O peso dos sacos de cimento é normalmente distribuído com desvio-padrão desconhecido. Em uma fábrica de cimento uma máquina enche sacos de 50 kg de cimento. Uma amostra com 25 sacos é retirada antes da realização de uma manutenção na máquina e o peso médio obtido foi de com desvio-padrão amostral de .
(a) Teste as hipóteses versus ; usando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Estatística onde o peso dos sacos de cimento segue uma distribuição normal, mas não sabemos o desvio-padrão da população. A gente quer testar se a média real dos sacos é igual a 50,5 kg ou não, usando uma amostra de 25 sacos que teve média de 50,15 kg e desvio-padrão de 2,50 kg. Para isso, vamos precisar usar o teste t de Student porque o desvio-padrão da população é desconhecido e o tamanho da amostra é pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): A média verdadeira dos sacos de cimento é 50,5 kg, ou seja, μ = 50,5 kg.
  • Hipótese alternativa (H₁): A média verdadeira dos sacos de cimento não é 50,5 kg, ou seja, μ ≠ 50,5 kg.
Esse é um teste bilateral porque estamos verificando se a média é diferente, tanto para mais quanto para menos.

Passo 3

Agora, vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
Onde:
  • é a média da amostra (50,15 kg)
  • é a média hipotética (50,5 kg)
  • é o desvio-padrão amostral (2,50 kg)
  • é o tamanho da amostra (25)
Substituindo os valores:

Passo 4

Com o valor de t calculado (-0,7), precisamos comparar com os valores críticos da distribuição t de Student para um nível de significância em um teste bilateral.
Como a amostra tem 25 sacos, os graus de liberdade (df) são .
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos os valores críticos para df = 24 e de cada lado:
í

Passo 5

Agora, vamos comparar nosso t calculado (-0,7) com os valores críticos:
  • Se , não rejeitamos a hipótese nula.
  • Se ou , rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, -0,7 está dentro do intervalo a , então não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Então, com base no teste realizado, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que não há evidências suficientes para afirmar que a média do peso dos sacos de cimento é diferente de 50,5 kg ao nível de significância de 10%.

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(a) Teste as hipóteses versus ; usando .
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(d) Qual é o valor P ( limite) para o teste do item (b)?
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© Qual é o valor P ( limite) para o teste do item (a)?
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