Sabe-se que a vida, em horas, de uma bateria é normalmente distribuída com desvio-padrão horas. Uma amostra aleatória de 16 baterias tem uma vida média de horas.
(a) Há evidência que suporte a alegação de que a vida da bateria excede 40 horas? Use .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a vida útil das baterias segue uma distribuição normal com desvio-padrão horas. Tiramos uma amostra de 16 baterias e a média dessa amostra foi horas. A pergunta é: será que há evidências de que a vida média das baterias é maior que 40 horas? Vamos usar um nível de significância para responder isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer nossas hipóteses. Nesse caso, estamos verificando se a vida média é maior que 40 horas.
  • Hipótese nula ( ): A média da vida das baterias é igual a 40 horas. Matemáticamente, .
  • Hipótese alternativa ( ): A média da vida das baterias é maior que 40 horas. Matemáticamente, .

Passo 3

Como queremos testar a média quando o desvio-padrão da população é conhecido e a amostra é relativamente pequena ( ), vamos usar o teste Z para uma média.
Os pré-requisitos para usar o teste Z são:
  1. A distribuição das vidas das baterias é normal.
  2. O desvio-padrão da população é conhecido.
  3. A amostra é aleatória.
Como todos esses critérios são atendidos, podemos prosseguir.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste Z usando a fórmula:
Onde:
  • é a média da amostra.
  • é a média sob a hipótese nula.
  • é o desvio-padrão da população.
  • é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância . Como é um teste unilateral (queremos saber se a média é maior), vamos procurar o valor Z que deixa 9% da área à direita.
Consultando uma tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para é aproximadamente í.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico:
  • Z calculado: 1,274
  • Z crítico: 1,34
Como 1,274 < 1,34, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para afirmar que a vida média das baterias excede 40 horas ao nível de significância de 9%.

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O peso dos sacos de cimento é normalmente distribuído com desvio-padrão desconhecido. Em uma fábrica de cimento uma máquina enche sacos de 50 kg de cimento. Uma amostra com 25 sacos é retirada antes da realização de uma manutenção na máquina e o peso médio obtido foi de com desvio-padrão amostral de .
© Qual é o valor P ( limite) para o teste do item (a)?
O peso dos sacos de cimento é normalmente distribuído com desvio-padrão desconhecido. Em uma fábrica de cimento uma máquina enche sacos de 50 kg de cimento. Uma amostra com 25 sacos é retirada antes da realização de uma manutenção na máquina e o peso médio obtido foi de com desvio-padrão amostral de .
(a) Teste as hipóteses versus ; usando .
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Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas.
(1) Se 2 bolas de gude são extraídas ao acaso, e é o número de bolas de gude brancas, encontre a função de probabilidade de .
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(2) Se bolas de gude são extraídas ao acaso, e é o número de bolas de gude pretas, encontre a função de probabilidade de .
(a) com reposição;
(b) sem reposição.