Sabe-se que a vida, em horas, de uma bateria é normalmente distribuída com desvio-padrão sigma=1,57 horas. Uma amostra aleatória de 16 baterias tem uma vida média de barx=40,5 horas.
(a) Há evidência que suporte a alegação de que a vida da bateria excede 40 horas? Use alpha=0,09.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a vida útil das baterias segue uma distribuição normal com desvio-padrão sigma = 1,57 horas. Tiramos uma amostra de 16 baterias e a média dessa amostra foi barx = 40,5 horas. A pergunta é: será que há evidências de que a vida média das baterias é maior que 40 horas? Vamos usar um nível de significância alpha = 0,09 para responder isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer nossas hipóteses. Nesse caso, estamos verificando se a vida média é maior que 40 horas.
  • Hipótese nula ( H0): A média da vida das baterias é igual a 40 horas. Matemáticamente, H0: mu = 40.
  • Hipótese alternativa ( Ha): A média da vida das baterias é maior que 40 horas. Matemáticamente, Ha: mu > 40.

Passo 3

Como queremos testar a média quando o desvio-padrão da população é conhecido e a amostra é relativamente pequena ( n = 16), vamos usar o teste Z para uma média.
Os pré-requisitos para usar o teste Z são:
  1. A distribuição das vidas das baterias é normal.
  2. O desvio-padrão da população é conhecido.
  3. A amostra é aleatória.
Como todos esses critérios são atendidos, podemos prosseguir.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste Z usando a fórmula:
Z = barx - mu0sigma / raizn
Onde:
  • barx = 40,5 é a média da amostra.
  • mu0 = 40 é a média sob a hipótese nula.
  • sigma = 1,57 é o desvio-padrão da população.
  • n = 16 é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:
Z = 40,5 - 401,57 / raiz16 = 0,51,57 / 4 = 0,50,3925 approx 1,274

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância alpha = 0,09. Como é um teste unilateral (queremos saber se a média é maior), vamos procurar o valor Z que deixa 9% da área à direita.
Consultando uma tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para alpha = 0,09 é aproximadamente Zcrítico = 1,34í.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico:
  • Z calculado: 1,274
  • Z crítico: 1,34
Como 1,274 < 1,34, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para afirmar que a vida média das baterias excede 40 horas ao nível de significância de 9%.

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