O peso dos sacos de cimento é normalmente distribuído com desvio-padrão desconhecido. Em uma fábrica de cimento uma máquina enche sacos de 50 kg de cimento. Uma amostra com 25 sacos é retirada antes da realização de uma manutenção na máquina e o peso médio obtido foi de
com desvio-padrão amostral de
.
(b) Teste as hipóteses
versus
; usando
.
(b) Teste as hipóteses
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística envolvendo teste de hipóteses. A gente quer verificar se a média do peso dos sacos de cimento realmente é 50,5 kg ou se está maior que isso. Para resolver, vamos precisar usar o teste t, já que o desvio-padrão da população é desconhecido. Então, vamos usar os dados da amostra que temos para tomar essa decisão.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar tudo o que sabemos:
- Média da amostra (
): 50,15 kg - Desvio-padrão da amostra (
): 2,50 kg - Tamanho da amostra (
): 25 - Hipóteses:
- Hipótese nula (
): kg - Hipótese alternativa (
): kg
- Hipótese nula (
- Nível de significância (
): 0,10
Passo 3
Como o desvio-padrão da população é desconhecido e a amostra é pequena (menos de 30), vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o t é:
Onde:
-
é a média da amostra -
é a média segundo a hipótese nula -
é o desvio-padrão da amostra -
é o tamanho da amostra
Passo 4
Vamos calcular o t:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um teste unilateral a direita com nível de significância de 0,10 e graus de liberdade (
) iguais a
.
Usando uma tabela t ou uma calculadora, encontramos que o valor crítico t para
e
é aproximadamente 1,318.
Passo 6
Comparamos o nosso t calculado com o valor crítico:
- Nosso t: -0,70
- Valor crítico: 1,318
Como -0,70 é menor que 1,318, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
Resposta: Não há evidências suficientes para afirmar que a média do peso dos sacos de cimento é maior que 50,5 kg ao nível de significância de 10%.