Uma pesquisa com os alunos do primeiro período de uma faculdade mostrou que 15 % do estudantes do sexo feminino e 13 % dos do sexo masculino têm menos de 20 anos de idade. Sabe-se que 60 % dos estudantes são do sexo masculino. Um estudante foi escolhido ao acaso e tem menos de 20 anos. Qual a probabilidade de que esse aluno seja do sexo masculino?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma pesquisa com estudantes de uma faculdade que nos dá algumas porcentagens relacionadas à idade e ao sexo dos alunos. Queremos descobrir a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso, que tem menos de 20 anos, seja do sexo masculino. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • 60% dos estudantes são do sexo masculino ( P(M) = 0,60).
  • 40% dos estudantes são do sexo feminino ( P(F) = 0,40).
  • 13% dos estudantes masculinos têm menos de 20 anos ( P(Menor de 20 | M) = 0,13).
  • 15% dos estudantes femininos têm menos de 20 anos ( P(Menor de 20 | F) = 0,15).

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que um aluno seja masculino, dado que ele tem menos de 20 anos, ou seja, P(M | Menor de 20). Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que é uma ferramenta poderosa para encontrar probabilidades condicionais invertidas. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(M | Menor de 20) = P(Menor de 20 | M) cdot P(M)P(Menor de 20)

Passo 4

Agora, precisamos calcular P(Menor de 20), que é a probabilidade de um aluno ter menos de 20 anos, independente do sexo. Podemos fazer isso usando a Regra da Probabilidade Total:
P(Menor de 20) = P(Menor de 20 | M) cdot P(M) + P(Menor de 20 | F) cdot P(F)
Substituindo os valores que temos:
P(Menor de 20) = (0,13 cdot 0,60) + (0,15 cdot 0,40)
P(Menor de 20) = 0,078 + 0,06 = 0,138

Passo 5

Agora que temos P(Menor de 20), podemos voltar ao Teorema de Bayes para encontrar P(M | Menor de 20):
P(M | Menor de 20) = 0,13 cdot 0,600,138
P(M | Menor de 20) = 0,0780,138 approx 0,5652

Resposta

A probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso, com menos de 20 anos, seja do sexo masculino é de aproximadamente 56,52%.

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