Uma pesquisa com os alunos do primeiro período de uma faculdade mostrou que
do estudantes do sexo feminino e
dos do sexo masculino têm menos de 20 anos de idade. Sabe-se que
dos estudantes são do sexo masculino. Um estudante foi escolhido ao acaso e tem menos de 20 anos. Qual a probabilidade de que esse aluno seja do sexo masculino?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma pesquisa com estudantes de uma faculdade que nos dá algumas porcentagens relacionadas à idade e ao sexo dos alunos. Queremos descobrir a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso, que tem menos de 20 anos, seja do sexo masculino. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- 60% dos estudantes são do sexo masculino (
). - 40% dos estudantes são do sexo feminino (
). - 13% dos estudantes masculinos têm menos de 20 anos (
). - 15% dos estudantes femininos têm menos de 20 anos (
).
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de que um aluno seja masculino, dado que ele tem menos de 20 anos, ou seja,
. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que é uma ferramenta poderosa para encontrar probabilidades condicionais invertidas. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, que é a probabilidade de um aluno ter menos de 20 anos, independente do sexo. Podemos fazer isso usando a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora que temos
, podemos voltar ao Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso, com menos de 20 anos, seja do sexo masculino é de aproximadamente
.