Uma pesquisa entrevistou 200 pessoas para saber se elas preferem café ou chá. Dos entrevistados, 130 preferem café. Qual é o intervalo de confiança de para a proporção de pessoas que preferem café?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente entrevistou 200 pessoas para descobrir se elas preferem café ou chá, e 130 preferiram café. A pergunta é: qual é o intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas que preferem café? Isso envolve conceitos de estatística sobre proporções e como estimar essa proporção com uma certa confiança.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a proporção da amostra que prefere café. A proporção amostral () é o número de pessoas que preferem café dividido pelo total entrevistado. Então:
Isso significa que, na amostra, 65% das pessoas preferem café.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá um intervalo onde acreditamos que a verdadeira proporção da população está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%). Para calcular isso, usamos a fórmula:
Onde:
é a proporção amostral,
é o valor crítico correspondente ao nível de confiança,
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Precisamos determinar o valor de para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor é encontrado na tabela da distribuição normal padrão e é aproximadamente 1,96.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão, que é a parte dentro da raiz quadrada na fórmula:
Passo 6
Com o erro padrão calculado, podemos agora encontrar a margem de erro multiplicando pelo valor de :
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção amostral:
Isso nos dá:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas que preferem café é de aproximadamente 58,4% a 71,6%.