Uma pesquisa entrevistou 200 pessoas para saber se elas preferem café ou chá. Dos entrevistados, 130 preferem café. Qual é o intervalo de confiança de 95 % para a proporção de pessoas que preferem café?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente entrevistou 200 pessoas para descobrir se elas preferem café ou chá, e 130 preferiram café. A pergunta é: qual é o intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas que preferem café? Isso envolve conceitos de estatística sobre proporções e como estimar essa proporção com uma certa confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a proporção da amostra que prefere café. A proporção amostral ( p = 130200 = 0,65 ) é o número de pessoas que preferem café dividido pelo total entrevistado. Então:
Isso significa que, na amostra, 65% das pessoas preferem café.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá um intervalo onde acreditamos que a verdadeira proporção da população está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%). Para calcular isso, usamos a fórmula:
p pm z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • é a proporção amostral,
  • é o valor crítico correspondente ao nível de confiança,
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Precisamos determinar o valor de para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor é encontrado na tabela da distribuição normal padrão e é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão, que é a parte dentro da raiz quadrada na fórmula:
raizp(1 - p)n = raiz0,65 times (1 - 0,65)200 = raiz0,65 times 0,35200 = raiz0,2275200 approx raiz0,0011375 approx 0,0337

Passo 6

Com o erro padrão calculado, podemos agora encontrar a margem de erro multiplicando pelo valor de 1,96 times 0,0337 approx 0,0661 :

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção amostral:
0,65 pm 0,0661
Isso nos dá:
0,65 - 0,0661 = 0,5839
0,65 + 0,0661 = 0,7161

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas que preferem café é de aproximadamente 58,4% a 71,6%.

Exercícios relacionados