Uma pesquisa indica que 41 % das mulheres americanas tem a leitura como atividade de lazer preferida. Escolhe-se, aleatoriamente, quatro mulheres americanas e lhes perguntam se elas têm a leitura como atividade de lazer preferida. Marque as alternativas corretas:
c. A probabilidade de que menos que duas das mulheres entrevistadas responderem sim é de 0,458

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está falando. A pesquisa diz que 41% das mulheres americanas preferem ler no tempo livre. A gente vai pegar aleatoriamente 4 mulheres e perguntar pra cada uma se ler é a atividade de lazer preferida. Precisamos calcular a probabilidade de que menos de duas mulheres respondam “sim”. Isso envolve o conteúdo de probabilidade binomial, que é útil quando temos eventos com apenas dois resultados possíveis (como sim ou não) e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos em várias tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossos parâmetros. Aqui, o número total de tentativas (n) é 4, já que estamos perguntando para 4 mulheres. A probabilidade de sucesso §, que nesse caso é uma mulher responder “sim”, é 0,41.

Passo 3

Queremos calcular a probabilidade de que menos de duas mulheres respondam “sim”, ou seja, P(X < 2). Isso significa calcular P(X = 0) + P(X = 1).

Passo 4

Vamos usar a fórmula da probabilidade binomial:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
- binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter k sucessos em n tentativas.
- p^k é a probabilidade de ter k sucessos.
- (1 - p)^n - k é a probabilidade de ter n - k fracassos.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular P(X = 0):
P(X = 0) = binom40 cdot 0,41^0 cdot (1 - 0,41)^4 - 0
P(X = 0) = 1 cdot 1 cdot 0,59^4
P(X = 0) = 0,59^4
P(X = 0) approx 0,121

Passo 6

Agora, vamos calcular P(X = 1):
P(X = 1) = binom41 cdot 0,41^1 cdot (1 - 0,41)^4 - 1
P(X = 1) = 4 cdot 0,41 cdot 0,59^3
P(X = 1) approx 4 cdot 0,41 cdot 0,205
P(X = 1) approx 0,336

Passo 7

Agora, somamos as probabilidades de P(X = 0) e P(X = 1) para obter P(X < 2):
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)
P(X < 2) approx 0,121 + 0,336
P(X < 2) approx 0,457

Resposta

A probabilidade de que menos que duas das mulheres entrevistadas responderem sim é aproximadamente 0,457, o que está próximo de 0,458 conforme a alternativa c.

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