Uma pesquisa indica que
das mulheres americanas tem a leitura como atividade de lazer preferida. Escolhe-se, aleatoriamente, quatro mulheres americanas e lhes perguntam se elas têm a leitura como atividade de lazer preferida. Marque as alternativas corretas:
e. A probabilidade de exatamente duas das mulheres entrevistadas responderem sim é de 0,351
e. A probabilidade de exatamente duas das mulheres entrevistadas responderem sim é de 0,351
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de mulheres americanas preferirem leitura como atividade de lazer. Temos que 41% das mulheres gostam disso. O que queremos descobrir é a probabilidade de, em um grupo de quatro mulheres escolhidas aleatoriamente, exatamente duas responderem que sim. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (neste caso, “sim” ou “não”).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da probabilidade binomial. Ela é dada por:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $ (ou seja, quantas maneiras temos de escolher quais $ k $ tentativas serão sucessos).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ 1 - p $ é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- $ n = 4 $ (quatro mulheres)
- $ k = 2 $ (duas mulheres que respondem “sim”)
- $ p = 0,41 $ (probabilidade de uma mulher preferir leitura)
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte da fórmula:
- Calculando $ C(4, 2) $:
- Calculando $ p^k $:
- Calculando $ (1 - p)^{n - k} $:
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo na fórmula:
Calculando:
Resposta
A probabilidade de exatamente duas das quatro mulheres entrevistadas responderem “sim” é de aproximadamente 0,351.