Uma pesquisa indica que 41 % das mulheres americanas tem a leitura como atividade de lazer preferida. Escolhe-se, aleatoriamente, quatro mulheres americanas e lhes perguntam se elas têm a leitura como atividade de lazer preferida. Marque as alternativas corretas:
e. A probabilidade de exatamente duas das mulheres entrevistadas responderem sim é de 0,351

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de mulheres americanas preferirem leitura como atividade de lazer. Temos que 41% das mulheres gostam disso. O que queremos descobrir é a probabilidade de, em um grupo de quatro mulheres escolhidas aleatoriamente, exatamente duas responderem que sim. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (neste caso, “sim” ou “não”).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da probabilidade binomial. Ela é dada por:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $ (ou seja, quantas maneiras temos de escolher quais $ k $ tentativas serão sucessos).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ 1 - p $ é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ n = 4 $ (quatro mulheres)
  • $ k = 2 $ (duas mulheres que respondem “sim”)
  • $ p = 0,41 $ (probabilidade de uma mulher preferir leitura)

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Calculando $ C(4, 2) $:
C(4, 2)
  1. Calculando $ p^k $:
C(4, 2) = 4!2!(4 - 2)! = 4 times 32 times 1 = 6
  1. Calculando $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo na fórmula:
P(X = 2) = 6 times 0,1681 times 0,3481
Calculando:
6 times 0,1681 = 1,0086
1,0086 times 0,3481 approx 0,351

Resposta

A probabilidade de exatamente duas das quatro mulheres entrevistadas responderem “sim” é de aproximadamente 0,351.

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