Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação ao consumo de um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 consumidores da cidade e observou-se que 180 consumiam o produto. Determinar um IC de 99 % para a proporção populacional de consumidores do produto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma pesquisa de mercado onde foram entrevistados 300 consumidores de uma cidade, e 180 deles consomem um certo produto. A gente precisa determinar um Intervalo de Confiança (IC) de 99% para a proporção da população que consome esse produto. Vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente para calcular o intervalo de confiança para uma proporção. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a proporção amostral, o erro padrão e o valor crítico correspondente a 99% de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a proporção amostral ( p = número de consumidores que usam o produtotamanho da amostra = 180300 = 0,6 ). Isso é simplesmente o número de consumidores que usam o produto dividido pelo total da amostra.
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Então, a proporção amostral é 0,6 ou 60%.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o erro padrão ( Ep = raizp(1 - p)n = raiz0,6 times 0,4300 = raiz0,24300 = raiz0,0008 approx 0,0283 ) da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanta variação podemos esperar na proporção amostral se repetirmos a amostra várias vezes. A fórmula é:
Portanto, o erro padrão é aproximadamente 0,0283.

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor crítico ( ) para um intervalo de confiança de 99%. O valor crítico corresponde ao número de desvios padrão que cobre a área de confiança desejada na distribuição normal padrão. Para 99%, o valor é aproximadamente 2,576.

Passo 5

Com o valor crítico e o erro padrão, podemos calcular o margem de erro ( ME = z^* times Ep = 2,576 times 0,0283 approx 0,0727 ):
Então, a margem de erro é aproximadamente 0,0727.

Passo 6

Finalmente, vamos construir o Intervalo de Confiança (IC) usando a proporção amostral e a margem de erro:
IC = p pm ME = 0,6 pm 0,0727
Isso significa que o intervalo vai de:
0,6 - 0,0727 = 0,5273
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0,6 + 0,0727 = 0,6727

Resposta

Portanto, o Intervalo de Confiança de 99% para a proporção populacional de consumidores do produto está entre aproximadamente 52,73% e 67,27%.

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