Uma população tem um desvio padrão igual a 10 e média desconhecida. Uma amostra de tamanho n=100 é retirada e fornece uma média barX=50. Qual o intervalo de 96 % de confiança para a média desta população?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma população com desvio padrão sigma = 10, mas a média mu é desconhecida. Tiramos uma amostra de tamanho n = 100 e calculamos a média barX = 50. Queremos descobrir qual é o intervalo de confiança de 96% para essa média desconhecida. Isso envolve conceitos de estatística, especificamente sobre como estimar a média da população a partir de uma amostra.

Passo 2

Como conhecemos o desvio padrão da população ( sigma = 10) e temos uma amostra grande ( n = 100), vamos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança é:
barX pm zalpha/2 cdot ( sigmaraizn )
Aqui:
  • barX é a média amostral.
  • zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico zalpha/2 para um intervalo de confiança de 96%. O nível de confiança de 96% significa que alpha = 0,04, então alpha/2 = 0,02. Procuramos o valor de z que deixa 2% na cauda direita da distribuição normal. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que:
z0,02 approx 2,054

Passo 4

Agora, calculamos o erro padrão da média, que é dado por:
sigmaraizn = 10raiz100 = 1010 = 1

Passo 5

Com esses valores, podemos calcular o intervalo de confiança:
50 pm 2,054 cdot 1
Isso resulta em:
50 - 2,054 = 47,946
e
50 + 2,054 = 52,054

Resposta

O intervalo de confiança de 96% para a média da população é aproximadamente [47,95, 52,05].

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