Uma pesquisa realizada com alunos de uma determinada escola revelou que 30 alunos gostam de matemática; 60 alunos gostam de história; 50 gostam de português; 20 gostam de português e história; 15 gostam de matemática e história; 10 gostam de matemática e português; 5 gostam dessas três disciplinas; e 40 alunos não gostam de nenhuma dessas três matérias. Quantos alunos participaram da pesquisa? Quantos gostam apenas de matemática? Quantos gostam apenas de história? Quantos gostam de apenas português?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre uma pesquisa com alunos que gostam de três matérias: matemática, história e português. Temos alguns números sobre quantos alunos gostam de cada matéria e de combinações delas, além de saber que alguns não gostam de nenhuma dessas três. Vamos usar conceitos de conjuntos e diagramas de Venn para descobrir quantos alunos participaram da pesquisa e quantos gostam apenas de cada uma das matérias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada número representa. Vamos usar um diagrama de Venn com três círculos, cada um representando uma matéria: Matemática (M), História (H) e Português §. As intersecções entre esses círculos mostram quantos alunos gostam de mais de uma matéria.

Passo 3

Começamos pelo centro do diagrama, onde os três círculos se sobrepõem. Sabemos que 5 alunos gostam das três matérias (Matemática, História e Português). Portanto, esse número vai para a área onde os três círculos se encontram.

Passo 4

Agora, vamos para as intersecções de duas matérias:
  • 15 alunos gostam de Matemática e História. Já que 5 desses gostam das três, subtraímos: 15 - 5 = 10 alunos gostam apenas de Matemática e História.
  • 20 alunos gostam de Português e História. Subtraindo os 5 que gostam das três: 20 - 5 = 15 alunos gostam apenas de Português e História.
  • 10 alunos gostam de Matemática e Português. Subtraindo os 5 que gostam das três: 10 - 5 = 5 alunos gostam apenas de Matemática e Português.

Passo 5

Agora, vamos encontrar quantos alunos gostam apenas de cada matéria individualmente:
  • Matemática: Sabemos que 30 alunos gostam de Matemática no total. Desses, 10 gostam também de História, 5 gostam também de Português e 5 gostam das três. Então, apenas Matemática: 30 - 10 - 5 - 5 = 10 alunos.
  • História: 60 alunos gostam de História no total. Subtraindo os que gostam de mais de uma matéria: 60 - 10 (Matemática e História) - 15 (Português e História) - 5 (três matérias) = 30 alunos apenas gostam de História.
  • Português: 50 alunos gostam de Português no total. Subtraindo os que gostam de mais de uma matéria: 50 - 5 (Matemática e Português) - 15 (Português e História) - 5 (três matérias) = 25 alunos apenas gostam de Português.

Passo 6

Para descobrir o total de alunos na pesquisa, somamos todos os grupos:
  • Apenas Matemática: 10
  • Apenas História: 30
  • Apenas Português: 25
  • Matemática e História: 10
  • Português e História: 15
  • Matemática e Português: 5
  • Três matérias: 5
  • Nenhuma das três: 40
Total = 10 + 30 + 25 + 10 + 15 + 5 + 5 + 40 = 140 alunos.

Resposta

Foram 140 alunos na pesquisa. Apenas 10 alunos gostam somente de Matemática, 30 gostam somente de História e 25 gostam somente de Português.

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