Uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores por 3 marcas de cerveja A , B e K revelou que dos 500 entrevistados : 70 preferem B e K; 40 preferem A e B; 30 gostam das três marcas; 210 preferem a cerveja A; 230 preferem a cerveja B; 160 preferem a cerveja K; 90 preferem A e K. Determine:
(e) Quantas não preferem as cervejas B ou K?
(e) Quantas não preferem as cervejas B ou K?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma pesquisa com 500 pessoas sobre a preferência por três marcas de cerveja: A, B e K. Nos são fornecidos vários números sobre quantas pessoas preferem certas combinações dessas marcas. O que precisamos descobrir é quantas pessoas não preferem nem a cerveja B nem a cerveja K. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conjuntos e diagramas de Venn, que nos ajudam a visualizar e calcular sobreposições entre diferentes grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Total de entrevistados: 500
- Preferem B e K: 70
- Preferem A e B: 40
- Preferem as três marcas A, B e K: 30
- Preferem apenas A: 210
- Preferem apenas B: 230
- Preferem apenas K: 160
- Preferem A e K: 90
Agora, vamos organizar essas informações para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos desenhar um diagrama de Venn com três círculos representando as marcas A, B e K. Cada região dentro dos círculos representará um grupo específico de preferências. As áreas onde os círculos se sobrepõem indicam as preferências por mais de uma marca.
Passo 4
Vamos preencher o diagrama começando pelas interseções múltiplas:
- Pessoas que preferem as três marcas A, B e K: 30
- Pessoas que preferem A e B, mas não K: 40
- Pessoas que preferem B e K, mas não A: 70
- Pessoas que preferem A e K, mas não B: 90
Passo 5
Agora, vamos preencher as partes que preferem apenas uma marca:
- Apenas A: 210
- Apenas B: 230
- Apenas K: 160
No entanto, precisamos confirmar se esses números estão corretos considerando as interseções já preenchidas.
Passo 6
Para garantir que não haja sobreposição indesejada, precisamos verificar se a soma das preferências individuais e das interseções corresponde ao total de 500 entrevistados.
Vamos somar todas as categorias:
- Apenas A: 210
- Apenas B: 230
- Apenas K: 160
- A e B, não K: 40
- B e K, não A: 70
- A e K, não B: 90
- A, B e K: 30
Total = 210 + 230 + 160 + 40 + 70 + 90 + 30 = 830
Notamos que a soma dá 830, que é maior que 500. Isso indica que há um erro nos dados fornecidos ou na interpretação. Porém, como estamos seguindo o enunciado, vamos assumir que as categorias “apenas A”, “apenas B” e “apenas K” incluem já as interseções. Portanto, precisamos recalcular considerando isso.
Passo 7
Vamos reconsiderar os dados:
- Preferem A: 210 (isso inclui aqueles que preferem A e outras marcas)
- Preferem B: 230
- Preferem K: 160
Para encontrar as preferências apenas por uma marca, usamos a fórmula:
Aplicando:
Fazendo o mesmo para B e K:
Passo 8
Agora, vamos somar todas as categorias corretamente:
- Apenas A: 110
- Apenas B: 150
- Apenas K: 30
- A e B, não K: 40
- B e K, não A: 70
- A e K, não B: 90
- A, B e K: 30
Total = 110 + 150 + 30 + 40 + 70 + 90 + 30 = 520
Ainda está acima de 500, o que sugere que há sobreposição adicional ou inconsistências nos dados. Para continuar, vamos considerar que o total correto é 500 e ajustar as categorias conforme necessário.
Passo 9
Vamos usar a fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos:
Substituindo os valores:
Claramente, há uma inconsistência. Para resolver a questão proposta (e), que é determinar quantas não preferem B ou K, vamos focar apenas nessa informação.
Passo 10
Queremos encontrar o número de pessoas que não preferem nem a cerveja B nem a K. Isso equivale a encontrar o complemento da união de B e K.
A fórmula para o complemento é:
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 11
Agora, aplicamos o complemento:
Resposta
180 pessoas não preferem as cervejas B ou K.