Uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores por 3 marcas de cerveja A , B e K revelou que dos 500 entrevistados : 70 preferem B e K; 40 preferem A e B; 30 gostam das três marcas; 210 preferem a cerveja A; 230 preferem a cerveja B; 160 preferem a cerveja K; 90 preferem A e K. Determine:
(e) Quantas não preferem as cervejas B ou K?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma pesquisa com 500 pessoas sobre a preferência por três marcas de cerveja: A, B e K. Nos são fornecidos vários números sobre quantas pessoas preferem certas combinações dessas marcas. O que precisamos descobrir é quantas pessoas não preferem nem a cerveja B nem a cerveja K. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conjuntos e diagramas de Venn, que nos ajudam a visualizar e calcular sobreposições entre diferentes grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Total de entrevistados: 500
  • Preferem B e K: 70
  • Preferem A e B: 40
  • Preferem as três marcas A, B e K: 30
  • Preferem apenas A: 210
  • Preferem apenas B: 230
  • Preferem apenas K: 160
  • Preferem A e K: 90
Agora, vamos organizar essas informações para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de Venn com três círculos representando as marcas A, B e K. Cada região dentro dos círculos representará um grupo específico de preferências. As áreas onde os círculos se sobrepõem indicam as preferências por mais de uma marca.

Passo 4

Vamos preencher o diagrama começando pelas interseções múltiplas:
  1. Pessoas que preferem as três marcas A, B e K: 30
  2. Pessoas que preferem A e B, mas não K: 40
  3. Pessoas que preferem B e K, mas não A: 70
  4. Pessoas que preferem A e K, mas não B: 90

Passo 5

Agora, vamos preencher as partes que preferem apenas uma marca:
  1. Apenas A: 210
  2. Apenas B: 230
  3. Apenas K: 160
No entanto, precisamos confirmar se esses números estão corretos considerando as interseções já preenchidas.

Passo 6

Para garantir que não haja sobreposição indesejada, precisamos verificar se a soma das preferências individuais e das interseções corresponde ao total de 500 entrevistados.
Vamos somar todas as categorias:
  • Apenas A: 210
  • Apenas B: 230
  • Apenas K: 160
  • A e B, não K: 40
  • B e K, não A: 70
  • A e K, não B: 90
  • A, B e K: 30
Total = 210 + 230 + 160 + 40 + 70 + 90 + 30 = 830
Notamos que a soma dá 830, que é maior que 500. Isso indica que há um erro nos dados fornecidos ou na interpretação. Porém, como estamos seguindo o enunciado, vamos assumir que as categorias “apenas A”, “apenas B” e “apenas K” incluem já as interseções. Portanto, precisamos recalcular considerando isso.

Passo 7

Vamos reconsiderar os dados:
  • Preferem A: 210 (isso inclui aqueles que preferem A e outras marcas)
  • Preferem B: 230
  • Preferem K: 160
Para encontrar as preferências apenas por uma marca, usamos a fórmula:
Apenas A = Preferem A - (A e B + A e K - A, B e K)
Aplicando:
Apenas A = 210 - (40 + 90 - 30) = 210 - 100 = 110
Fazendo o mesmo para B e K:
Apenas B = 230 - (40 + 70 - 30) = 230 - 80 = 150
Apenas K = 160 - (70 + 90 - 30) = 160 - 130 = 30

Passo 8

Agora, vamos somar todas as categorias corretamente:
  • Apenas A: 110
  • Apenas B: 150
  • Apenas K: 30
  • A e B, não K: 40
  • B e K, não A: 70
  • A e K, não B: 90
  • A, B e K: 30
Total = 110 + 150 + 30 + 40 + 70 + 90 + 30 = 520
Ainda está acima de 500, o que sugere que há sobreposição adicional ou inconsistências nos dados. Para continuar, vamos considerar que o total correto é 500 e ajustar as categorias conforme necessário.

Passo 9

Vamos usar a fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos:
|A cup B cup K| = |A| + |B| + |K| - |A cap B| - |A cap K| - |B cap K| + |A cap B cap K|
Substituindo os valores:
500 = 210 + 230 + 160 - 40 - 90 - 70 + 30
500 = 600 - 200 + 30
500 = 430
Claramente, há uma inconsistência. Para resolver a questão proposta (e), que é determinar quantas não preferem B ou K, vamos focar apenas nessa informação.

Passo 10

Queremos encontrar o número de pessoas que não preferem nem a cerveja B nem a K. Isso equivale a encontrar o complemento da união de B e K.
A fórmula para o complemento é:
Total - |B cup K|
Primeiro, vamos calcular |B cup K| = |B| + |K| - |B cap K| :
|B cup K| = 230 + 160 - 70 = 320

Passo 11

Agora, aplicamos o complemento:
Não preferem B nem K = 500 - 320 = 180 ã

Resposta

180 pessoas não preferem as cervejas B ou K.

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