Um pesquisador afirma que mais de 30 % dos proprietários de smartphone nos Estados Unidos usam seus aparelhos (compras, redes sociais e assim por diante) enquanto assistem à televisão. Em uma amostra aleatória de 150 adultos, 38 % dizem que usam seus aparelhos enquanto assistem à televisão. Para um nível de significância alpha=0,05, há evidência suficiente para concordar com a afirmação do pesquisador? (Solução: Rejeita H0.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre verificar se mais de 30% dos donos de smartphone nos Estados Unidos usam seus celulares enquanto assistem televisão. Para isso, vamos usar o teste de proporção. O que precisamos é comparar a proporção observada na amostra com a proporção que o pesquisador está afirmando, usando um nível de significância de 5% ( alpha = 0,05).

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses. A hipótese nula ( H0) é a afirmação que queremos testar, que aqui é que 30% ou menos dos proprietários usam o celular enquanto veem TV. Já a hipótese alternativa ( H1) é o que o pesquisador está sugerindo, ou seja, que mais de 30% usam o celular nessas situações.
Então:
  • H0: p <= 0,30
  • H1: p > 0,30

Passo 3

Agora, vamos verificar as condições para usar o teste de proporção:
  1. Amostragem aleatória: O problema diz que a amostra foi aleatória, então está ok.
  2. Independência: Assumimos que os dados são independentes.
  3. Normalidade: A amostra é grande o suficiente? Verificamos se n times p0 >= 10 e n times (1 - p0) >= 10.
    • 150 times 0,30 = 45 >= 10
    • 150 times 0,70 = 105 >= 10
    Como as duas condições são atendidas, podemos seguir com o teste.

Passo 4

Vamos calcular o estatístico de teste. Primeiro, a proporção observada na amostra ( p) é 38%, ou seja, 0,38. A fórmula do teste z para proporção é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • p0 = 0,30
  • n = 150
  • p = 0,38
Substituindo:
z = 0,38 - 0,30raiz0,30 times 0,70150 = 0,08raiz0,21150 = 0,08raiz0,0014 approx 0,080,0374 approx 2,14

Passo 5

Agora, vamos comparar o valor de z com o valor crítico para um teste com alpha = 0,05 no lado direito (teste unilateral). Olhando na tabela Z, o valor crítico é aproximadamente 1,645.
Como 2,14 > 1,645, estamos na região de rejeição.

Passo 6

Finalmente, comparamos nosso estatístico de teste com o valor crítico:
  • z = 2,14 > 1,645
Isso significa que a diferença observada é estatisticamente significativa e rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com nível de significância de 5%, há evidência suficiente para concordar com a afirmação do pesquisador. Portanto, rejeitamos H0.

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