Um pesquisador afirma que 86 % dos graduados na faculdade dizem que seu grau universitário foi um bom investimento. Em uma amostra aleatória de 1.000 graduados, 845 dizem seu grau universitário foi um bom investimento. Para um nível de significância alpha=0,10, há evidência suficiente para rejeitar a afirmação do pesquisador? (Solução: z=-1,37,-z0= -1,645 e z0=1,645). Tome a decisão e interprete!

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que o problema está pedindo: um pesquisador diz que 86% dos graduados acham que o grau universitário foi um bom investimento. Foi feita uma amostra de 1.000 graduados e 845 concordaram com essa afirmação. Queremos saber, com um nível de significância de 10%, se temos evidências suficientes para rejeitar o que o pesquisador afirmou. Para isso, vamos usar o teste de hipóteses para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que estamos testando. A hipótese nula ( H0) é que a proporção real de graduados que acham o grau um bom investimento é 86%, ou seja, p = 0,86. A hipótese alternativa ( Ha) é que essa proporção seja diferente de 86%, então p neq 0,86.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na nossa amostra. Temos 845 de 1.000 graduados que disseram que sim, então:
p = 8451000 = 0,845

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos mostra a variação esperada dessa proporção. A fórmula é:
Erro padrão = raizp(1 - p)n = raiz0,86 times 0,141000 approx 0,0107 ã

Passo 5

Com o erro padrão calculado, podemos agora encontrar o valor de z, que nos indica quantos erros padrão a nossa proporção observada está afastada da hipótese nula:
z = p - pErro padrão = 0,845 - 0,860,0107 approx -1,37 ã

Passo 6

Vamos determinar os valores críticos para o nosso nível de significância de 10% ( alpha = 0,10). Como é um teste bicaudal (estamos verificando se a proporção é diferente, tanto para mais quanto para menos), dividimos alpha por 2, ficando 5% em cada cauda. Os valores críticos de z são aproximadamente -1,645 e 1,645.

Passo 7

Agora, comparamos o valor calculado de z com os valores críticos. Se o z estiver fora do intervalo [-1,645, 1,645], rejeitamos a hipótese nula.

Passo 8

No nosso caso, z = -1,37 está dentro do intervalo entre -1,645 e 1,645. Isso significa que não temos evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 10%, não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação do pesquisador de que 86% dos graduados consideram o grau universitário um bom investimento.

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