Um pesquisador coletou os seguintes dados sobre a altura de uma planta (em cm) em diferentes semanas: (1,2), (2,4.5), (3,7), (4,9.5), (5,12). Ajuste uma reta y = a x + b para os dados e estime a altura da planta na sexta semana.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um pesquisador mediu a altura de uma planta em diferentes semanas: (1,2), (2,4.5), (3,7), (4,9.5), (5,12). A tarefa é ajustar uma reta na forma para esses dados e usar essa reta para estimar a altura da planta na sexta semana. Para resolver isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para encontrar a melhor linha que se ajusta aos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “ajustar uma reta aos dados”. Queremos encontrar os valores de (coeficiente angular) e (coeficiente linear) que fazem com que a reta passe o mais próximo possível dos pontos dados. Para isso, usamos o método dos mínimos quadrados, que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.

Passo 3

Vamos organizar os dados em duas listas: uma para as semanas ( ) e outra para as alturas ( ).

Passo 4

Agora, precisamos calcular alguns valores intermediários que vão nos ajudar a achar e . Vamos calcular a soma de , a soma de , a soma de e a soma de .

Passo 5

O método dos mínimos quadrados nos dá as seguintes fórmulas para encontrar e :
Onde é o número de pontos, que nesse caso é 5.

Passo 6

Vamos calcular :

Passo 7

Agora, vamos calcular :

Passo 8

Então, a equação da reta ajustada é:

Passo 9

Com essa reta, podemos estimar a altura da planta na sexta semana substituindo na equação:

Resposta

A altura estimada da planta na sexta semana é de 8,5 cm.

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