Um pesquisador quer estimar a proporção de estudantes que utilizam transporte público para ir à universidade. Ele realiza uma pesquisa com 150 estudantes e descobre que 90 deles utilizam transporte público. Qual é o intervalo de confiança de 99 % para a proporção de estudantes que utilizam transporte público?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O pesquisador quer descobrir qual a porcentagem de estudantes que usa transporte público para ir à universidade. Isso está ligado ao conteúdo de intervalo de confiança para proporções. Para resolver, vamos precisar saber o número total de estudantes pesquisados, quantos usam transporte público e o nível de confiança desejado (nesse caso, 99%).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Número total de estudantes pesquisados: p = xn = 90150 = 0,6
  • Número de estudantes que usam transporte público:
A proporção amostral ( ) é calculada assim:
Então, ou 60%.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor crítico ( ) que corresponde ao nível de confiança de 99%. Esse valor é baseado na distribuição normal padrão. Para 99% de confiança, o costuma ser aproximadamente 2,576.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão ( E = z times raizp(1 - p)n ). A fórmula para o erro padrão em intervalos de confiança para proporções é:
E = 2,576 times raiz0,6 times 0,4150 approx 2,576 times raiz0,24150 approx 2,576 times raiz0,0016 approx 2,576 times 0,04 = 0,103
Substituindo os valores que temos:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,103 (ou 10,3%).

Passo 5

Por último, vamos montar o intervalo de confiança utilizando a fórmula:
p pm E
Substituindo os valores:
0,6 pm 0,103
Isso resulta em:
[0,6 - 0,103, , 0,6 + 0,103] = [0,497, , 0,703]
Convertendo para porcentagem:
[49,7%, , 70,3%]

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para a proporção de estudantes que utilizam transporte público é de 49,7% a 70,3%.

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