Resolva o problema de valor incial
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial:
com a condição inicial
. Esse tipo de equação diferencial pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos
. Aqui,
e
. O método do fator integrante exige que a gente calcule um fator que vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 3
O fator integrante,
, é dado por
. Como
, temos:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
, o que simplifica a resolução.
Passo 5
Reconhecemos que a esquerda é a derivada de
:
Agora, vamos integrar os dois lados em relação a
para encontrar
.
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Isso simplifica para:
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.
Passo 7
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que essa integral padrão resulta em:
Substituindo de volta na equação:
Passo 8
Simplificamos a expressão:
Dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 9
Agora aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que
e
, então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
(Equação Exata)
.
Pesquise sobre campo vetorial conservativo. A seguir, determine se o campo vetorial é conservativo ou não.
Sejam as equações (Bernoulli)
(a)
(b)
Determine suas soluções gerais.
(a)
(b)
Determine suas soluções gerais.