Resolva o problema de valor incial d q/d t + q = 4 cos(2 t), q(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial: com a condição inicial . Esse tipo de equação diferencial pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos . Aqui, e . O método do fator integrante exige que a gente calcule um fator que vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 3

O fator integrante, , é dado por . Como , temos:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto , o que simplifica a resolução.

Passo 5

Reconhecemos que a esquerda é a derivada de :
Agora, vamos integrar os dois lados em relação a t para encontrar .

Passo 6

Integramos ambos os lados:
Isso simplifica para:
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 7

Para resolver , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que essa integral padrão resulta em:
Substituindo de volta na equação:

Passo 8

Simplificamos a expressão:
Dividimos ambos os lados por e^t para isolar q:

Passo 9

Agora aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:
Sabemos que e , então:
Subtraindo 4/5 de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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