Uma pessoa de altura h coloca-se diante de uma câmara escura de orifício com o intuito de produzir, na face oposta ao orifício da câmara, uma imagem que corresponda a três quartos (¾) de sua altura. Sabendo que a câmara escura tem profundidade d, qual será a distância entre a pessoa e sua imagem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma pessoa com altura $ h $ que se posiciona na frente de uma câmara escura. O objetivo é formar uma imagem dela que seja três quartos da sua altura ($ \frac{3}{4}h $) na outra face da câmara, que tem uma profundidade $ d $. Vamos usar conceitos de óptica geométrica, especificamente sobre a câmara escura, para resolver isso. Vamos precisar entender como a formação de imagens funciona nesse tipo de dispositivo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a imagem é formada na câmara escura. A câmara escura funciona como uma câmera pinhole, onde a luz passa por um orifício pequeno e forma uma imagem invertida na parede oposta. Para simplificar, vamos considerar que temos duas distâncias importantes:
- $ d_o $: distância da pessoa (objeto) ao orifício.
- $ d_i $: distância do orifício à parede onde a imagem é formada.
A profundidade total da câmara escura é a soma dessas duas distâncias:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a ampliação (ou redução) da imagem. A ampliação $ m $ é dada pela relação entre a altura da imagem $ h’ $ e a altura do objeto $ h $:
Segundo o enunciado, a imagem tem três quartos da altura da pessoa:
A ampliação também está relacionada às distâncias:
O sinal negativo indica que a imagem é invertida, mas para nosso cálculo, vamos considerar apenas os valores absolutos.
Passo 4
Vamos igualar as duas expressões para a ampliação:
Isso significa que:
Passo 5
Agora, substituímos $ d_i $ na equação da profundidade total da câmara:
Somando as parcelas de $ d_o $:
Para encontrar $ d_o $, isolamos a variável:
Passo 6
Sabendo agora que $ d_o = \frac{4}{7}d $, podemos encontrar $ d_i $ usando a relação que encontramos anteriormente:
Passo 7
A distância entre a pessoa e a imagem é a soma de $ d_o $ e $ d_i $:
Resposta
A distância entre a pessoa e sua imagem é igual à profundidade da câmara escura, ou seja, $ d $.