Uma pessoa arremessa uma bola verticalmente para cima com velocidade inicial v0=19,6m/s. Uma vez que a aceleração da gravidade g= −9,8m/s² é contrária ao movimento de subida da bola, ela sofre desaceleração diminuindo sua velocidade até o ponto onde v=0 e a bola atinge a altura máxima H. Em seguida a bola inicia o seu movimento de queda - contrário ao sentido do movimento de subida - aumentando o valor da sua velocidade devido à ação da aceleração da gravidade até chegar novamente às mãos do jogador, que consideramos estar posicionada em h0=0m. Com base nas informações apresentadas, escreva:
a. A função horária da velocidade v=v0+at para a bola.
b. A função horária do movimento S=S0+v0t+a/2t² para a bola.
c. Quanto tempo leva para a bola atingir a altura máxima.
a. A função horária da velocidade v=v0+at para a bola.
b. A função horária do movimento S=S0+v0t+a/2t² para a bola.
c. Quanto tempo leva para a bola atingir a altura máxima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma bola que é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial $ v_0 = 19,6 , m/s $ e sofre a influência da gravidade $ g = -9,8 , m/s² $. Para resolver as partes a, b e c, vamos usar algumas fórmulas de cinemática do movimento uniformemente variado (MUV). Precisaremos das fórmulas da velocidade em função do tempo e da posição em função do tempo.
Passo 2
Parte a: A função horária da velocidade
A fórmula que descreve a velocidade de um objeto em movimento uniformemente variado é:
Onde:
- $ v(t) $ é a velocidade em função do tempo.
- $ v_0 $ é a velocidade inicial.
- $ a $ é a aceleração.
- $ t $ é o tempo.
No nosso caso, a aceleração $ a $ é a aceleração da gravidade, que está agindo contra o movimento da bola, então $ a = -9,8 , m/s² $.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 3
Parte b: A função horária do movimento
A posição em função do tempo para um movimento uniformemente variado é dada por:
Onde:
- $ S(t) $ é a posição em função do tempo.
- $ S_0 $ é a posição inicial (no caso, $ S_0 = 0 , m $).
- $ v_0 $ é a velocidade inicial.
- $ a $ é a aceleração.
- $ t $ é o tempo.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 4
Parte c: Tempo para atingir a altura máxima
A altura máxima é atingida quando a velocidade da bola é zero ($ v(t) = 0 $). Vamos usar a função da velocidade que encontramos na parte a:
Resolvendo para $ t $:
Resposta
a. A função da velocidade é $ v(t) = 19,6 - 9,8t $ m/s.
b. A função da posição é $ S(t) = 19,6t - 4,9t² $ metros.
c. A bola atinge a altura máxima após $ 2 $ segundos.