Considere um escoamento que ocorre no plano Oxy, em que o campo de velocidades é conhecido e determinado por vx=2xt e vy=y2t. Qual é a aceleração no ponto P (1, 1) no instante de 1 segundo, em centímetros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um escoamento no plano Oxy onde as velocidades nas direções x e y são dadas por $ v_x = 2xt $ e $ v_y = y^2t $. A questão pede para encontrar a aceleração no ponto P(1, 1) no instante de 1 segundo. Vamos usar conceitos de cálculo de aceleração em fluidos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração em um fluido é dada pela derivada material da velocidade. Isso significa que a aceleração tem duas partes: a variação temporal da velocidade e a variação espacial devido ao movimento no espaço. Matematicamente, para cada componente da velocidade, temos:
ax = partial vxpartial t + vx partial vxpartial x + vy partial vxpartial y
ay = partial vypartial t + vx partial vypartial x + vy partial vypartial y

Passo 3

Vamos calcular cada termo para $ a_x $:
  1. Derivada parcial de $ v_x $ em relação ao tempo $ t $:
ax
  1. Derivada parcial de $ v_x $ em relação a $ x $:
vx
  1. Derivada parcial de $ v_x $ em relação a $ y $:
t
Então, substituindo na fórmula de $ a_x $:
partial vxpartial t = partialpartial t(2xt) = 2x

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo para $ a_y $:
  1. Derivada parcial de $ v_y $ em relação ao tempo $ t $:
ay
  1. Derivada parcial de $ v_y $ em relação a $ x $:
vy
  1. Derivada parcial de $ v_y $ em relação a $ y $:
t
Então, substituindo na fórmula de $ a_y $:
partial vypartial t = partialpartial t(y^2t) = y^2

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores do ponto P(1, 1) e $ t = 1 $ segundo nas equações de aceleração que encontramos:
Para $ a_x $:
t = 1
Para $ a_y $:
ax

Resposta

A aceleração no ponto P(1, 1) no instante de 1 segundo é $ a_x = 6 , cm/s^2 $ e $ a_y = 3 , cm/s^2 $.

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