Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200,00 em um fundo de investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse fundo possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do fundo sem movimentação do cliente). Os planos são: Plano A: carência de 10 meses; • Plano B: carência de 15 meses; • Plano C: carência de 20 meses; • Plano D: carência de 28 meses; • Plano E: carência de 40 meses. O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique, quando somado aos juros do fundo. Considere as aproximações: log2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02. Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor carência possível, deverá optar pelo plano
A) A.
B) B.
C) C.
D) D.
E) C.
A) A.
B) B.
C) C.
D) D.
E) C.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um depósito inicial de R$200,00 em um fundo que rende 5% ao mês com juros compostos. Existem cinco planos de carência com diferentes tempos mínimos: Plano A (10 meses), B (15 meses), C (20 meses), D (28 meses) e E (40 meses). O objetivo é que o investimento dobre de valor (chegue a R$400,00) dentro do período de carência, e queremos escolher o plano com a menor carência possível que atenda a esse objetivo.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular em quantos meses o investimento vai dobrar com juros compostos de 5% ao mês. A fórmula para o montante acumulado com juros compostos é:
Onde:
- $ M $ é o montante final,
- $ P $ é o valor principal (R$200,00),
- $ i $ é a taxa de juros por período (5% ou 0,05),
- $ t $ é o tempo em meses.
Queremos que $ M = 2P $, ou seja, o montante seja o dobro do principal:
Passo 3
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ P $:
Para encontrar $ t $, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo de base 10 em ambos os lados:
Passo 4
Agora, isolamos $ t $:
Substituindo os valores fornecidos:
Portanto, são necessários 15 meses para o investimento dobrar.
Passo 5
Agora, precisamos escolher o plano com a menor carência que seja igual ou maior que 15 meses. Observando os planos:
- Plano A: 10 meses (menor que 15) – não atende
- Plano B: 15 meses (igual a 15) – atende
- Plano C: 20 meses
- Plano D: 28 meses
- Plano E: 40 meses
O plano mais curto que satisfaz a condição é o Plano B.
Resposta
B) B.