Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar a sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação da população de insetos em função do tempo, em semanas, conclui-se que o tamanho da população é dado por:
, determine: Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o controle da população de insetos usando um pesticida. A função que descreve o tamanho da população em função do tempo (em semanas) é dada por
. Nosso objetivo é descobrir se, durante a ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos volta a ser igual à população inicial, ou seja, se
é igual a
em algum tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a população inicial. Para isso, substituímos
na função
:
Então, a população inicial é 10 insetos.
Passo 3
Agora, queremos encontrar os tempos
em que a população
é igual a 10. Ou seja, queremos resolver a equação:
Substituindo a função, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação subtraindo 10 de ambos os lados:
Passo 5
Fatorando a equação, colocamos o termo comum
:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Passo 6
A primeira solução,
, já sabemos que corresponde ao momento inicial que já conhecemos. Vamos resolver a segunda equação:
Isolando
:
Passo 7
Então, encontramos que
semanas é outro momento em que a população de insetos é igual à população inicial de 10 insetos.
Resposta
Sim, após 2 semanas de aplicação do pesticida, a população de insetos volta a ser igual à população inicial de 10 insetos.