Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar a sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação da população de insetos em função do tempo, em semanas, conclui-se que o tamanho da população é dado por: F(t) = -10 t^2 + 20 t + 10, determine: Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o controle da população de insetos usando um pesticida. A função que descreve o tamanho da população em função do tempo (em semanas) é dada por . Nosso objetivo é descobrir se, durante a ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos volta a ser igual à população inicial, ou seja, se é igual a em algum tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a população inicial. Para isso, substituímos na função :
Então, a população inicial é 10 insetos.

Passo 3

Agora, queremos encontrar os tempos em que a população é igual a 10. Ou seja, queremos resolver a equação:
Substituindo a função, temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação subtraindo 10 de ambos os lados:

Passo 5

Fatorando a equação, colocamos o termo comum :
Isso nos dá duas soluções possíveis:

Passo 6

A primeira solução, , já sabemos que corresponde ao momento inicial que já conhecemos. Vamos resolver a segunda equação:
Isolando :

Passo 7

Então, encontramos que semanas é outro momento em que a população de insetos é igual à população inicial de 10 insetos.

Resposta

Sim, após 2 semanas de aplicação do pesticida, a população de insetos volta a ser igual à população inicial de 10 insetos.

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