© Pions are also produced in the upper atmosphere. In fact, the sequence is proton (from outer space) hits proton (in atmosphere)
pions. The pions then decay into muons:
. But, the lifetime of the pion is much shorter (
. Assuming the pions have the same speed
, will they reach ground level?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. O problema fala sobre pions, partículas que são produzidas na atmosfera superior quando prótons do espaço chegam e colidem com prótons na atmosfera. Esses pions têm uma vida útil muito curta de
segundos e estão se movendo a uma velocidade de
, onde
é a velocidade da luz. Queremos descobrir se esses pions conseguem chegar ao nível do solo antes de decair. Para isso, vamos precisar usar conceitos de velocidade, tempo de vida das partículas e a teoria da relatividade especial, que nos ajudará a considerar a dilatação do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a vida útil de uma partícula. A vida útil, ou tempo de meia-vida, é o tempo que uma partícula estável antes de decair em outras partículas. No caso dos pions, esse tempo é de
segundos quando medido no referencial da própria partícula (ou seja, do ponto de vista do píon).
Passo 3
Como os pions estão se movendo muito rápido, a velocidade próxima à da luz (
), precisamos considerar um efeito da teoria da relatividade especial chamado dilatação do tempo. Esse efeito faz com que o tempo de vida dos pions pareça maior para um observador na Terra do que para alguém que está viajando junto com o píon.
Passo 4
A dilatação do tempo é calculada pela fórmula:
onde:
-
é o tempo observado na Terra, -
é o tempo de vida no referencial do píon ( s), -
é o fator de Lorentz, dado por:
Vamos calcular
para
:
Passo 5
Agora, usamos
para encontrar o tempo dilatado
:
Isso significa que, para um observador na Terra, o píon vive cerca de
segundos antes de decair.
Passo 6
Com esse tempo dilatado, podemos calcular a distância que o píon percorre antes de decair usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Sabendo que
:
Portanto, o píon percorre aproximadamente 123 metros antes de decair.
Passo 7
Agora, precisamos comparar essa distância com a altura da atmosfera onde os pions são produzidos. Os pions são geralmente produzidos na cromosfera superior, que fica a cerca de 15 quilômetros acima da superfície da Terra.
Resposta
Como os pions percorrem apenas aproximadamente 123 metros antes de decair, que é muito menor que os cerca de 15 quilômetros até a atmosfera superior, eles não conseguem atingir o nível do solo antes de decair.