© Pions are also produced in the upper atmosphere. In fact, the sequence is proton (from outer space) hits proton (in atmosphere)
pions. The pions then decay into muons:
. But, the lifetime of the pion is much shorter (
. Assuming the pions have the same speed
, will they reach ground level?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. O problema fala sobre pions, partículas que são produzidas na atmosfera superior quando prótons do espaço chegam e colidem com prótons na atmosfera. Esses pions têm uma vida útil muito curta de
segundos e estão se movendo a uma velocidade de
, onde
é a velocidade da luz. Queremos descobrir se esses pions conseguem chegar ao nível do solo antes de decair. Para isso, vamos precisar usar conceitos de velocidade, tempo de vida das partículas e a teoria da relatividade especial, que nos ajudará a considerar a dilatação do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a vida útil de uma partícula. A vida útil, ou tempo de meia-vida, é o tempo que uma partícula estável antes de decair em outras partículas. No caso dos pions, esse tempo é de
segundos quando medido no referencial da própria partícula (ou seja, do ponto de vista do píon).
Passo 3
Como os pions estão se movendo muito rápido, a velocidade próxima à da luz (
), precisamos considerar um efeito da teoria da relatividade especial chamado dilatação do tempo. Esse efeito faz com que o tempo de vida dos pions pareça maior para um observador na Terra do que para alguém que está viajando junto com o píon.
Passo 4
A dilatação do tempo é calculada pela fórmula:
onde:
-
é o tempo observado na Terra, -
é o tempo de vida no referencial do píon ( s), -
é o fator de Lorentz, dado por:
Vamos calcular
para
:
Passo 5
Agora, usamos
para encontrar o tempo dilatado
:
Isso significa que, para um observador na Terra, o píon vive cerca de
segundos antes de decair.
Passo 6
Com esse tempo dilatado, podemos calcular a distância que o píon percorre antes de decair usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Sabendo que
:
Portanto, o píon percorre aproximadamente 123 metros antes de decair.
Passo 7
Agora, precisamos comparar essa distância com a altura da atmosfera onde os pions são produzidos. Os pions são geralmente produzidos na cromosfera superior, que fica a cerca de 15 quilômetros acima da superfície da Terra.
Resposta
Como os pions percorrem apenas aproximadamente 123 metros antes de decair, que é muito menor que os cerca de 15 quilômetros até a atmosfera superior, eles não conseguem atingir o nível do solo antes de decair.
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(a) Cosmic ray muons are produced high in the atmosphere (at 8000 m , say) and travel toward the earth at very nearly the speed of light
, say). Given the lifetime of the muon (
), how far would it go before disintegrating, according to prerelativistic physics? Would the muons make it to ground level?
A posição de um objeto que se move ao longo de eixo x é dada por
, onde
está em metros e
em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s , (b) 2 s , © 3 s , (d) 4 s . (e) Qual é a velocidade média para o intervalo entre
e
? (f) Qual é o deslocamento para o intervalo
a
? (g) Faça o gráfico de
em função de
para
e indique como a resposta do item (f) pode ser determinada a partir do gráfico. Respostas: (a) 0 ; (b) -2 m ; © 0 ; (d) 12 m ; (e) +12 m ; (f)
.
Half the muons in a monoenergetic beam decay in the first 600 m . How fast are they going?
Show that the quantity I (in Equation 3.13) is invariant under Lorentz transformations (Equation 3.8).