© Pions are also produced in the upper atmosphere. In fact, the sequence is proton (from outer space) hits proton (in atmosphere) p+p+ pions. The pions then decay into muons: pi^- mu^-+barvmu ; pi^+ mu^++vmu. But, the lifetime of the pion is much shorter ( 2.6 times 10^-8 s). Assuming the pions have the same speed (0.998 c), will they reach ground level?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. O problema fala sobre pions, partículas que são produzidas na atmosfera superior quando prótons do espaço chegam e colidem com prótons na atmosfera. Esses pions têm uma vida útil muito curta de segundos e estão se movendo a uma velocidade de , onde é a velocidade da luz. Queremos descobrir se esses pions conseguem chegar ao nível do solo antes de decair. Para isso, vamos precisar usar conceitos de velocidade, tempo de vida das partículas e a teoria da relatividade especial, que nos ajudará a considerar a dilatação do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a vida útil de uma partícula. A vida útil, ou tempo de meia-vida, é o tempo que uma partícula estável antes de decair em outras partículas. No caso dos pions, esse tempo é de segundos quando medido no referencial da própria partícula (ou seja, do ponto de vista do píon).

Passo 3

Como os pions estão se movendo muito rápido, a velocidade próxima à da luz ( ), precisamos considerar um efeito da teoria da relatividade especial chamado dilatação do tempo. Esse efeito faz com que o tempo de vida dos pions pareça maior para um observador na Terra do que para alguém que está viajando junto com o píon.

Passo 4

A dilatação do tempo é calculada pela fórmula:
t' = gamma t
onde:
  • gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o tempo observado na Terra,
  • gamma = 1raiz1 - (0.998)^2 = 1raiz1 - 0.996004 = 1raiz0.003996 approx 10.0632 approx 15.8 é o tempo de vida no referencial do píon ( s),
  • é o fator de Lorentz, dado por:
Vamos calcular para :

Passo 5

Agora, usamos t' = gamma t = 15.8 times 2.6 times 10^-8, s approx 4.11 times 10^-7, s para encontrar o tempo dilatado :
Isso significa que, para um observador na Terra, o píon vive cerca de segundos antes de decair.

Passo 6

Com esse tempo dilatado, podemos calcular a distância que o píon percorre antes de decair usando a fórmula:
d = v times t'
Substituindo os valores:
d = 0.998, c times 4.11 times 10^-7, s
Sabendo que d = 0.998 times 3 times 10^8, m/s times 4.11 times 10^-7, s approx 0.998 times 123, m approx 122.754, m :
Portanto, o píon percorre aproximadamente 123 metros antes de decair.

Passo 7

Agora, precisamos comparar essa distância com a altura da atmosfera onde os pions são produzidos. Os pions são geralmente produzidos na cromosfera superior, que fica a cerca de 15 quilômetros acima da superfície da Terra.

Resposta

Como os pions percorrem apenas aproximadamente 123 metros antes de decair, que é muito menor que os cerca de 15 quilômetros até a atmosfera superior, eles não conseguem atingir o nível do solo antes de decair.

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