(PISM 1 - 2013) Considere
e
números reais maiores que 1 , tais que
e
. O valor da expressão
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três números reais,
,
e
, todos maiores que 1. Sabemos que
e
. Nosso objetivo é descobrir o valor da expressão
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos logaritmos e a mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa que
. Da mesma forma,
significa que
. Então, já sabemos expressar
e
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão que queremos calcular:
. Vamos simplificar cada parte usando propriedades dos logaritmos.
Primeiro, para
, lembramos que
. Então:
Sabemos que
, porque qualquer logaritmo de uma base com ela mesma é 1. Então:
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Usamos a propriedade
:
Passo 5
Juntando tudo, temos:
Vamos distribuir o 3:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Passo 6
Agora precisamos encontrar
e
. Para isso, usamos a mudança de base:
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão:
Calculando cada parte:
Resposta
A resposta correta é a letra d)
.