(PISM 1 - 2013) Considere a, b e c números reais maiores que 1 , tais que log_b(a) = 2 e log_b(c) = 3. O valor da expressão log_c(a * c) + 3 * log_c(a / b) é:
a) 2/3
b) 5 / 3
c) 7 / 3
d) 8 / 3
e) 10 / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três números reais, , e , todos maiores que 1. Sabemos que e . Nosso objetivo é descobrir o valor da expressão . Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos logaritmos e a mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa que . Da mesma forma, significa que . Então, já sabemos expressar e em termos de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão que queremos calcular: . Vamos simplificar cada parte usando propriedades dos logaritmos.
Primeiro, para , lembramos que . Então:
Sabemos que , porque qualquer logaritmo de uma base com ela mesma é 1. Então:

Passo 4

Agora, vamos simplificar . Usamos a propriedade :

Passo 5

Juntando tudo, temos:
Vamos distribuir o 3:
Agora, somamos os termos semelhantes:

Passo 6

Agora precisamos encontrar e . Para isso, usamos a mudança de base:

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão:
Calculando cada parte:

Resposta

A resposta correta é a letra d) .

Exercícios relacionados