Mostre que, se
e
são racionais e
, então existe um racional
tal que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois números racionais,
e
, onde
. O objetivo é mostrar que existe pelo menos um número racional
que fica entre
e
. Para isso, vamos precisar saber o que são números racionais e como podemos manipular esses números para encontrar outro número racional entre eles.
Passo 2
Sabemos que um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Isso significa que os racionais são densos na reta numérica, ou seja, entre quaisquer dois racionais, sempre existe outro racional.
Passo 3
Para encontrar esse número racional entre
e
, podemos calcular a média aritmética dos dois números. A média de dois números é simplesmente a soma deles dividida por dois. Vamos então calcular:
Passo 4
Como
e
são racionais, a soma deles
também é racional, já que a soma de dois racionais é racional. Além disso, dividir um número racional por outro número inteiro diferente de zero (no caso, por 2) também resulta em um número racional. Portanto,
é racional.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
está realmente entre
e
. Como
, ao somarmos
e dividirmos por 2, o resultado
fica no meio dos dois, ou seja:
Isso mostra que
está entre
e
.
Resposta
Portanto, existe um número racional
tal que
.