Mostre que, se
e
são racionais e
, então existe um racional
tal que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois números racionais,
e
, onde
. O objetivo é mostrar que existe pelo menos um número racional
que fica entre
e
. Para isso, vamos precisar saber o que são números racionais e como podemos manipular esses números para encontrar outro número racional entre eles.
Passo 2
Sabemos que um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Isso significa que os racionais são densos na reta numérica, ou seja, entre quaisquer dois racionais, sempre existe outro racional.
Passo 3
Para encontrar esse número racional entre
e
, podemos calcular a média aritmética dos dois números. A média de dois números é simplesmente a soma deles dividida por dois. Vamos então calcular:
Passo 4
Como
e
são racionais, a soma deles
também é racional, já que a soma de dois racionais é racional. Além disso, dividir um número racional por outro número inteiro diferente de zero (no caso, por 2) também resulta em um número racional. Portanto,
é racional.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
está realmente entre
e
. Como
, ao somarmos
e dividirmos por 2, o resultado
fica no meio dos dois, ou seja:
Isso mostra que
está entre
e
.
Resposta
Portanto, existe um número racional
tal que
.
Exercícios relacionados
Dê a condição de existência e, determine, em
, o conjunto solução de cada uma das equações:
(PISM 1 - 2013) Considere
e
números reais maiores que 1 , tais que
e
. O valor da expressão
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
(PISM 1 - 2017) Um capital de R
, 00 aplicado no sistema de juros compostos a uma taxa de
ao mês, gera, após
meses, o montante (que é os juros mais o capital inicial) é dado pela fórmula abaixo:
O número mínimo de meses necessários para que o valor do montante seja igual a
é:
(Use que )
a) 17 meses
b) 20 meses
c) 25 meses
d) 28 meses
e) 32 meses
(Use que
a) 17 meses
b) 20 meses
c) 25 meses
d) 28 meses
e) 32 meses
Considere o número
.
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fração irredutível.
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fração irredutível.