Mostre que, se e são racionais e , então existe um racional tal que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois números racionais, e , onde . O objetivo é mostrar que existe pelo menos um número racional que fica entre e . Para isso, vamos precisar saber o que são números racionais e como podemos manipular esses números para encontrar outro número racional entre eles.

Passo 2

Sabemos que um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e . Isso significa que os racionais são densos na reta numérica, ou seja, entre quaisquer dois racionais, sempre existe outro racional.

Passo 3

Para encontrar esse número racional entre e , podemos calcular a média aritmética dos dois números. A média de dois números é simplesmente a soma deles dividida por dois. Vamos então calcular:

Passo 4

Como e são racionais, a soma deles também é racional, já que a soma de dois racionais é racional. Além disso, dividir um número racional por outro número inteiro diferente de zero (no caso, por 2) também resulta em um número racional. Portanto, é racional.

Passo 5

Agora, vamos verificar se está realmente entre e . Como , ao somarmos e dividirmos por 2, o resultado fica no meio dos dois, ou seja:
Isso mostra que está entre e .

Resposta

Portanto, existe um número racional tal que .

Exercícios relacionados

Dê a condição de existência e, determine, em , o conjunto solução de cada uma das equações:
(PISM 1 - 2013) Considere e números reais maiores que 1 , tais que e . O valor da expressão é:
a)
b)
c)
d)
e)
(PISM 1 - 2017) Um capital de R , 00 aplicado no sistema de juros compostos a uma taxa de ao mês, gera, após meses, o montante (que é os juros mais o capital inicial) é dado pela fórmula abaixo:
O número mínimo de meses necessários para que o valor do montante seja igual a é:
(Use que )
a) 17 meses
b) 20 meses
c) 25 meses
d) 28 meses
e) 32 meses
Considere o número .
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fração irredutível.