Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1 < r2, então existe um racional r tal que r1 < r < r2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois números racionais, e , onde . O objetivo é mostrar que existe pelo menos um número racional que fica entre e . Para isso, vamos precisar saber o que são números racionais e como podemos manipular esses números para encontrar outro número racional entre eles.

Passo 2

Sabemos que um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e . Isso significa que os racionais são densos na reta numérica, ou seja, entre quaisquer dois racionais, sempre existe outro racional.

Passo 3

Para encontrar esse número racional entre e , podemos calcular a média aritmética dos dois números. A média de dois números é simplesmente a soma deles dividida por dois. Vamos então calcular:

Passo 4

Como e são racionais, a soma deles também é racional, já que a soma de dois racionais é racional. Além disso, dividir um número racional por outro número inteiro diferente de zero (no caso, por 2) também resulta em um número racional. Portanto, é racional.

Passo 5

Agora, vamos verificar se está realmente entre e . Como , ao somarmos e dividirmos por 2, o resultado fica no meio dos dois, ou seja:
Isso mostra que está entre e .

Resposta

Portanto, existe um número racional tal que .

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